Considere a função: . Classifique os pontos críticos em máximo ou mínimo local, de acordo com um critério.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que temos é sobre a função . A gente precisa encontrar os pontos críticos dessa função e dizer se cada um é um máximo ou mínimo local. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que são pontos críticos. Pontos críticos são aqueles onde a derivada da função é igual a zero ou não existe. Eles são importantes porque podem indicar onde a função atinge máximos ou mínimos locais.

Passo 3

Então, vamos calcular a primeira derivada de . A derivada nos dá a taxa de variação da função, e onde ela é zero, a função pode ter um máximo ou mínimo.

Passo 4

Agora, encontramos os pontos críticos resolvendo :
Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2:

Passo 5

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e .
Então, temos duas soluções:

Passo 6

Agora que temos os pontos críticos e , precisamos classificá-los como máximos ou mínimos locais. Para isso, usamos a segunda derivada.

Passo 7

Vamos avaliar a segunda derivada em cada ponto crítico:
  1. Para :
Como a segunda derivada é positiva, isso indica que a função tem um mínimo local em .
  1. Para :
Aqui, a segunda derivada é negativa, então a função tem um máximo local em .

Resposta

A função tem um máximo local em e um mínimo local em .

Exercícios relacionados

Avalie a derivada resolvida a seguiu, caso o passo realizado imediatamente após o símbolo de implicação lógica esteja certo escrever
Seja para a equação do movimento de uma partícula, onde é medido em centímetros e em segundos. Determinar a velocidade no instante segundos;
Avalie a derivada resolvida a seguiu, caso o passo realizado imediatamente após o símbolo de implicação lógica esteja certo escrever
Os limites a seguir apresentam indeterminações do tipo . Esses limites apresentam razões entre polinômios, calcule-os: