Considere a função:
. Classifique os pontos críticos em máximo ou mínimo local, de acordo com um critério.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que temos é sobre a função
. A gente precisa encontrar os pontos críticos dessa função e dizer se cada um é um máximo ou mínimo local. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que são pontos críticos. Pontos críticos são aqueles onde a derivada da função é igual a zero ou não existe. Eles são importantes porque podem indicar onde a função atinge máximos ou mínimos locais.
Passo 3
Então, vamos calcular a primeira derivada de
. A derivada nos dá a taxa de variação da função, e onde ela é zero, a função pode ter um máximo ou mínimo.
Passo 4
Agora, encontramos os pontos críticos resolvendo
:
Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2:
Passo 5
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
.
Então, temos duas soluções:
Passo 6
Agora que temos os pontos críticos
e
, precisamos classificá-los como máximos ou mínimos locais. Para isso, usamos a segunda derivada.
Passo 7
Vamos avaliar a segunda derivada em cada ponto crítico:
- Para
:
Como a segunda derivada é positiva, isso indica que a função tem um mínimo local em
.
- Para
:
Aqui, a segunda derivada é negativa, então a função tem um máximo local em
.
Resposta
A função
tem um máximo local em
e um mínimo local em
.
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Seja
para
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é medido em centímetros e
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segundos;
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. Esses limites apresentam razões entre polinômios, calcule-os: