Os limites a seguir apresentam indeterminações do tipo . Esses limites apresentam razões entre polinômios, calcule-os:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve uma fração de polinômios. A questão é calcular:
Vamos precisar entender como o comportamento dos polinômios muda quando vai para menos infinito, especialmente observando os termos de maior grau no numerador e no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador, porque eles vão dominar o comportamento da função quando tende para menos infinito.
No numerador, o termo de maior grau é , e no denominador é .

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dividindo tanto o numerador quanto o denominador pelo termo de maior grau presente no denominador, que é . Isso ajuda a entender como cada parte da função se comporta quando cresce sem limites negativos.
Então, dividimos cada termo por :

Passo 4

Agora vamos analisar o que acontece com cada parte dessa nova expressão quando tende para menos infinito:
  • vai para menos infinito porque é negativo e muito grande.
  • permanece constante.
  • tende a zero, já que cresce sem limites.
  • No denominador, permanece constante.
  • tende a zero também.
Portanto, a expressão simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos observar o termo . Quando tende para menos infinito, domina o , então podemos simplificar ainda mais para:

Passo 6

Finalmente, calculamos o limite de quando vai para menos infinito:
Isso porque se torna cada vez mais negativo à medida que diminui sem limites.

Resposta

O limite é igual a .

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Calcule , sendo dada por: