Os limites a seguir apresentam indeterminações do tipo ^infty / infty. Esses limites apresentam razões entre polinômios, calcule-os: lim x -infty(2 x^3+7 x^2+63 x^2-2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve uma fração de polinômios. A questão é calcular:
lim x -infty(2x^3+7x^2+63x^2-2x)
Vamos precisar entender como o comportamento dos polinômios muda quando vai para menos infinito, especialmente observando os termos de maior grau no numerador e no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador, porque eles vão dominar o comportamento da função quando tende para menos infinito.
No numerador, o termo de maior grau é , e no denominador é .

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dividindo tanto o numerador quanto o denominador pelo termo de maior grau presente no denominador, que é 2x^3+7x^2+63x^2-2x = 2x^3/x^2 + 7x^2/x^2 + 6/x^23x^2/x^2 - 2x/x^2 = 2x + 7 + 6x^23 - 2x . Isso ajuda a entender como cada parte da função se comporta quando cresce sem limites negativos.
Então, dividimos cada termo por :

Passo 4

Agora vamos analisar o que acontece com cada parte dessa nova expressão quando 2x + 7 + 03 - 0 = 2x + 73 tende para menos infinito:
  • vai para menos infinito porque é negativo e muito grande.
  • permanece constante.
  • tende a zero, já que cresce sem limites.
  • No denominador, permanece constante.
  • tende a zero também.
Portanto, a expressão simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos observar o termo 2x3 . Quando tende para menos infinito, domina o , então podemos simplificar ainda mais para:

Passo 6

Finalmente, calculamos o limite de limx -infty 2x3 = -infty quando vai para menos infinito:
Isso porque se torna cada vez mais negativo à medida que diminui sem limites.

Resposta

O limite é igual a .

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