Considere a função
Indique o domínio de e represente o sinal de .

Passo 1

Beleza, a gente vai analisar a função . O que a questão pede é para encontrar o domínio dessa função e determinar o sinal dela. Para isso, vamos precisar entender onde a função está definida, ou seja, onde o denominador não é zero, e depois ver em quais intervalos a função é positiva ou negativa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Como temos uma fração, precisamos garantir que o denominador não seja zero.

Passo 3

O denominador é . Vamos igualar a zero e resolver:

Passo 4

Observando a equação , percebemos que é sempre positivo para qualquer valor de . Além disso, também é sempre não negativo, já que é o quadrado de um número real multiplicado por 3.

Passo 5

Somando duas expressões que são sempre não negativas, temos que para todo . Logo, o denominador nunca é zero.

Passo 6

Como o denominador nunca é zero, o domínio da função é todos os números reais, ou seja, .

Passo 7

Agora, vamos determinar o sinal da função. Para isso, analisaremos o sinal do numerador e do denominador.

Passo 8

O numerador é , que é sempre positivo para qualquer .
O denominador, como vimos, é , que também é sempre positivo.

Passo 9

Quando tanto o numerador quanto o denominador são positivos, a fração também é positiva.

Resposta

O domínio de é todos os números reais e a função é positiva para todo real.

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no intervalo .
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Calcule e .
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