Considere a função
f(x)= x+5, & se x<-2 -x^2-2 x+3, & se -2 <= x<1 -x+2, & se x >= 1 e x neq 3 2, & se x=3
(b) Determine f(0) e todos os limites de f no ponto 0 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de funções por partes! A gente precisa encontrar o valor de e todos os limites de quando se aproxima de 0. Vamos usar conhecimentos de funções definidas por partes e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos achar f(0) = -0^2 - 2 times 0 + 3 = 0 - 0 + 3 = 3 . Olhando a função dada, vemos que para , a expressão de é . Como 0 está nesse intervalo, substituímos por 0 na expressão:

Passo 3

Agora, vamos calcular os limites de limx to 0^- f(x) = limx to 0^- (-x^2 - 2x + 3) = -0^2 - 2 times 0 + 3 = 3 quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ) e pela direita ( ).
Para se aproximando de 0 pela esquerda ( ), usamos a mesma expressão que usamos para , porque ainda estamos no intervalo :

Passo 4

Para limx to 0^+ f(x) = limx to 0^+ (-x^2 - 2x + 3) = -0^2 - 2 times 0 + 3 = 3 se aproximando de 0 pela direita ( ), a expressão da função não muda, pois ainda estamos no mesmo intervalo :

Passo 5

Finalmente, como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e ambos são iguais a limx to 0 f(x) = f(0) = 3 , podemos concluir que:

Resposta

e todos os limites de no ponto 0 são iguais a 3.

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