Determine e para que e existam, em que é a função dada por
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes e precisamos encontrar os valores de e de forma que os limites de existam quando se aproxima de -1 e de 1. Isso envolve garantir que a função não “pule” ou tenha descontinuidades nesses pontos.
Passo 2
Para que o limite de exista em e , os limites à esquerda e à direita desses pontos precisam ser iguais. Vamos calcular esses limites separadamente.
Passo 3
Limite em :
Lado esquerdo ():
Quando , a função é .
Calculando o limite:
Lado direito ():
Quando , a função é .
Calculando o limite:
Igualando os limites:
Para que o limite exista, os dois limites devem ser iguais:
Simplificando:
çã
Passo 4
Limite em :
Lado esquerdo ():
Novamente, quando , a função é .
Calculando o limite:
Lado direito ():
Quando , a função é .
Para que o limite exista e seja finito, o denominador não pode ser zero no limite. Isso significa que o numerador também deve ser zero quando para cancelar o denominador.
Então, vamos encontrar tal que o numerador tenha como fator:
Expandindo o lado direito:
Igualando os coeficientes:
Portanto:
Agora, simplificando a função:
Calculando o limite:
Igualando os limites:
Para que o limite exista:
Simplificando:
çã
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .
Somando as duas equações:
Substituindo na Equação 1:
Resposta
Os valores que garantem que os limites de existam em e são: