Determine a e b para que lim x -1 f(x) e lim x 1 f(x) existam, em que f é a função dada por
f(x)= (x-2)^2-b, & se x<-1 x^3-a x+7, & se -1 <= x <= 1 x^2-(b+1) x+bx-1, & se x>1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes e precisamos encontrar os valores de e de forma que os limites de existam quando se aproxima de -1 e de 1. Isso envolve garantir que a função não “pule” ou tenha descontinuidades nesses pontos.

Passo 2

Para que o limite de exista em e , os limites à esquerda e à direita desses pontos precisam ser iguais. Vamos calcular esses limites separadamente.

Passo 3

Limite em limx to -1^- f(x) = (-1 - 2)^2 - b = ( -3 )^2 - b = 9 - b :
  • Lado esquerdo ( limx to -1^+ f(x) = (-1)^3 - a(-1) + 7 = -1 + a + 7 = a + 6 ):
    Quando 9 - b = a + 6 , a função é a + 6 = 9 - b Rightarrow a + b = 3 (Equação 1) .
    Calculando o limite:
  • Lado direito ( ):
    Quando , a função é .
    Calculando o limite:
  • Igualando os limites:
    Para que o limite exista, os dois limites devem ser iguais:
    Simplificando:
    çã

Passo 4

Limite em limx to 1^- f(x) = 1^3 - a cdot 1 + 7 = 1 - a + 7 = 8 - a :
  • Lado esquerdo ( x^2 - (b + 1)x + b = (x - 1)(x - c) ):
    Novamente, quando (x - 1)(x - c) = x^2 - (c + 1)x + c , a função é - (c + 1) = - (b + 1) Rightarrow c = b .
    Calculando o limite:
    c = b
  • Lado direito ( x^2 - (b + 1)x + b = (x - 1)(x - b) ):
    Quando f(x) = (x - 1)(x - b)x - 1 = x - b para x neq 1 , a função é limx to 1^+ f(x) = 1 - b .
    Para que o limite exista e seja finito, o denominador 8 - a = 1 - b não pode ser zero no limite. Isso significa que o numerador também deve ser zero quando 8 - a = 1 - b Rightarrow -a + b = -7 Rightarrow a - b = 7 (Equação 2) para cancelar o denominador.
    Então, vamos encontrar tal que o numerador tenha como fator:
    Expandindo o lado direito:
    Igualando os coeficientes:
    Portanto:
    Agora, simplificando a função:
    Calculando o limite:
  • Igualando os limites:
    Para que o limite exista:
    Simplificando:
    çã

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
  1. (a + b) + (a - b) = 3 + 7 Rightarrow 2a = 10 Rightarrow a = 5
  2. 5 + b = 3 Rightarrow b = 3 - 5 = -2
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .
  • Somando as duas equações:
  • Substituindo na Equação 1:

Resposta

Os valores que garantem que os limites de a = 5 e b = -2 existam em e são:

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