Determine e para que e existam, em que é a função dada por

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes e precisamos encontrar os valores de e de forma que os limites de existam quando se aproxima de -1 e de 1. Isso envolve garantir que a função não “pule” ou tenha descontinuidades nesses pontos.

Passo 2

Para que o limite de exista em e , os limites à esquerda e à direita desses pontos precisam ser iguais. Vamos calcular esses limites separadamente.

Passo 3

Limite em :
  • Lado esquerdo ( ):
    Quando , a função é .
    Calculando o limite:
  • Lado direito ( ):
    Quando , a função é .
    Calculando o limite:
  • Igualando os limites:
    Para que o limite exista, os dois limites devem ser iguais:
    Simplificando:
    çã

Passo 4

Limite em :
  • Lado esquerdo ( ):
    Novamente, quando , a função é .
    Calculando o limite:
  • Lado direito ( ):
    Quando , a função é .
    Para que o limite exista e seja finito, o denominador não pode ser zero no limite. Isso significa que o numerador também deve ser zero quando para cancelar o denominador.
    Então, vamos encontrar tal que o numerador tenha como fator:
    Expandindo o lado direito:
    Igualando os coeficientes:
    Portanto:
    Agora, simplificando a função:
    Calculando o limite:
  • Igualando os limites:
    Para que o limite exista:
    Simplificando:
    çã

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .
  • Somando as duas equações:
  • Substituindo na Equação 1:

Resposta

Os valores que garantem que os limites de existam em e são:

Exercícios relacionados

Considere a função
© Determine e todos os limites de no ponto -2 .
Considere a função
(b) Determine e todos os limites de no ponto 0 .
Use a derivação implícita para encontrar uma equação da reta tangente à curva
no ponto
[1 pt] Determine a derivada partial .