Determine e para que e existam, em que é a função dada por
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes e precisamos encontrar os valores de e de forma que os limites de existam quando se aproxima de -1 e de 1. Isso envolve garantir que a função não “pule” ou tenha descontinuidades nesses pontos.
Passo 2
Para que o limite de exista em e , os limites à esquerda e à direita desses pontos precisam ser iguais. Vamos calcular esses limites separadamente.
Passo 3
Limite em limx to -1^- f(x) = (-1 - 2)^2 - b = ( -3 )^2 - b = 9 - b :
Lado esquerdo ( limx to -1^+ f(x) = (-1)^3 - a(-1) + 7 = -1 + a + 7 = a + 6 ):
Quando 9 - b = a + 6 , a função é a + 6 = 9 - b Rightarrow a + b = 3 (Equação 1) .
Calculando o limite:
Lado direito ():
Quando , a função é .
Calculando o limite:
Igualando os limites:
Para que o limite exista, os dois limites devem ser iguais:
Simplificando:
çã
Passo 4
Limite em limx to 1^- f(x) = 1^3 - a cdot 1 + 7 = 1 - a + 7 = 8 - a :
Lado esquerdo ( x^2 - (b + 1)x + b = (x - 1)(x - c) ):
Novamente, quando (x - 1)(x - c) = x^2 - (c + 1)x + c , a função é - (c + 1) = - (b + 1) Rightarrow c = b .
Calculando o limite:
c = b
Lado direito ( x^2 - (b + 1)x + b = (x - 1)(x - b) ):
Quando f(x) = (x - 1)(x - b)x - 1 = x - b para x neq 1 , a função é limx to 1^+ f(x) = 1 - b .
Para que o limite exista e seja finito, o denominador 8 - a = 1 - b não pode ser zero no limite. Isso significa que o numerador também deve ser zero quando 8 - a = 1 - b Rightarrow -a + b = -7 Rightarrow a - b = 7 (Equação 2) para cancelar o denominador.
Então, vamos encontrar tal que o numerador tenha como fator:
Expandindo o lado direito:
Igualando os coeficientes:
Portanto:
Agora, simplificando a função:
Calculando o limite:
Igualando os limites:
Para que o limite exista:
Simplificando:
çã
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
(a + b) + (a - b) = 3 + 7 Rightarrow 2a = 10 Rightarrow a = 5
5 + b = 3 Rightarrow b = 3 - 5 = -2
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .
Somando as duas equações:
Substituindo na Equação 1:
Resposta
Os valores que garantem que os limites de a = 5 e b = -2 existam em e são: