Considere a função
f(x)= x+5, & se x<-2 -x^2-2 x+3, & se -2 <= x<1 -x+2, & se x >= 1 e x neq 3 2, & se x=3
© Determine f(-2) e todos os limites de f no ponto -2 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes e precisa encontrar o valor de e todos os limites de no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de limites e avaliar a função em pontos específicos. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar . Olhando para a definição da função, vemos que tem diferentes expressões dependendo do valor de . Precisamos identificar em qual intervalo se encaixa.

Passo 3

No enunciado, a função está definida da seguinte forma:
f(x)= x+5, & se x < -2 - x^2 - 2x + 3, & se -2 <= x < 1 - x + 2, & se x >= 1 e x neq 3 2, & se x = 3
Como queremos , vamos ver em qual condição se encaixa. Observamos que , então usamos a segunda expressão da função.

Passo 4

Agora, substituímos f(-2) = -(-2)^2 - 2(-2) + 3 na expressão (-2)^2 = 4 :
f(-2) = -4 + 4 + 3 = 3
Calculando passo a passo:

Passo 5

Agora, vamos determinar os limites de quando se aproxima de pela esquerda ( ) e pela direita ( ).

Passo 6

Primeiro, o limite pela esquerda ( limx to -2^- f(x) = (-2) + 5 = 3 ):
Quando se aproxima de por valores menores, usamos a primeira expressão da função :

Passo 7

Agora, o limite pela direita ( limx to -2^+ f(x) = -(-2)^2 - 2(-2) + 3 = -4 + 4 + 3 = 3 ):
Quando se aproxima de por valores maiores ou iguais a , usamos a segunda expressão :

Passo 8

Como ambos os limites laterais são iguais e limx to -2 f(x) = f(-2) = 3 também é igual a esse valor, concluímos que:

Resposta

e todos os limites de no ponto são iguais a 3.

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