Use a derivação implícita para encontrar uma equação da reta tangente à curva
x^2 + 2xy - y^2 + x = 2
no ponto 1,2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva definida por no ponto . Para isso, vamos usar derivação implícita, que é uma técnica para encontrar a derivada quando está misturado com na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a . Lembre-se que, ao derivar termos que envolvem , precisamos usar a regra da cadeia porque é uma função de .
Agora, vamos derivar cada parte:
  • (usando a regra do produto)
Substituindo tudo de volta na equação:

Passo 3

Vamos organizar a equação para isolar :
Agrupando os termos com :
Agora, isolamos :

Passo 4

Vamos calcular a derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é .
Agora, usamos a forma ponto-inclinação da equação da reta:
Substituindo e o ponto :
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente é .

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