Considere a função
f(x)= x+5, & se x<-2 -x^2-2 x+3, & se -2 <= x<1 -x+2, & se x >= 1 e x neq 3 2, & se x=3
(d) Utilize o gráfico do item (a) para determinar se o lim x 3 f(x) existe e, caso ele exista, calcule-o.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão quer saber se o limite de quando se aproxima de 3 existe, e se existir, qual é esse valor. A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites, que é uma base fundamental para entender como funções se comportam perto de certos pontos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são limites laterais (pela esquerda e pela direita) e verificar se eles são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o limite de limx to 3^- f(x) e limx to 3^+ f(x) quando se aproxima de um ponto existe se o limite pela esquerda ( ) e o limite pela direita ( ) forem iguais. Ou seja, precisamos calcular:

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda. Olhando para a definição da função f(x) = -x + 2, & se x >= 1 e x neq 3 :
limx to 3^- f(x) = limx to 3^- (-x + 2) = -3 + 2 = -1
Então, para se aproximando de 3 pela esquerda ( ), usamos . Calculando:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela direita. Novamente, para f(x) = -x + 2 se aproximando de 3 pela direita ( limx to 3^+ f(x) = limx to 3^+ (-x + 2) = -3 + 2 = -1 ), usamos a mesma expressão da função:
Calculando:

Passo 5

Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais:
limx to 3^- f(x) = limx to 3^+ f(x) = -1
Isso significa que o limite de quando se aproxima de 3 existe e é igual a -1.

Resposta

O limite existe e é igual a .

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