Utilize a definição de limite para mostrar que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a definição de limite para provar que . Isso está ligado ao estudo de limites em cálculo, especificamente utilizando a definição formal de limite. Vamos precisar entender o que é limite, a definição formal com e , e como aplicá-la à função quando se aproxima de 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de limite. Dizemos que se, para todo número positivo , existe um número positivo tal que sempre que , então .
No nosso caso, temos:
Então, precisamos mostrar que para todo , existe um tal que se , então .

Passo 3

Vamos simplificar a expressão :
Queremos que isso seja menor que :
Para isso, basta escolher de forma que:

Passo 4

Então, definimos:
Com essa escolha de , sempre que , teremos:
Isso satisfaz a definição de limite.

Resposta

Portanto, mostramos que utilizando a definição de limite.

Exercícios relacionados

Utilize a definição de limite para mostrar que .
Utilize a definição de limite para mostrar que .
Estime algebricamente o valor do limite usando os valores de fornecidos. Use uma calculadora.
1 1,5 1,9 1,9999
2,5 2,1 2,01 2,0001
Considere a função
(d) Utilize o gráfico do item (a) para determinar se o existe e, caso ele exista, calcule-o.