Utilize a definição de limite para mostrar que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a definição de limite para provar que
. Isso está ligado ao estudo de limites em cálculo, especificamente utilizando a definição formal de limite. Vamos precisar entender o que é limite, a definição formal com
e
, e como aplicá-la à função
quando
se aproxima de 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de limite. Dizemos que
se, para todo número positivo
, existe um número positivo
tal que sempre que
, então
.
No nosso caso, temos:
Então, precisamos mostrar que para todo
, existe um
tal que se
, então
.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão
:
Queremos que isso seja menor que
:
Para isso, basta escolher
de forma que:
Passo 4
Então, definimos:
Com essa escolha de
, sempre que
, teremos:
Isso satisfaz a definição de limite.
Resposta
Portanto, mostramos que
utilizando a definição de limite.