Utilize a definição de limite para mostrar que lim x 1-4 x+3=-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a definição de limite para provar que lim x 1-4x + 3 = -1. Isso está ligado ao estudo de limites em cálculo, especificamente utilizando a definição formal de limite. Vamos precisar entender o que é limite, a definição formal com varepsilon e de, e como aplicá-la à função -4x + 3 quando x se aproxima de 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de limite. Dizemos que limx to a f(x) = L se, para todo número positivo varepsilon, existe um número positivo de tal que sempre que 0 < |x - a| < de, então |f(x) - L| < varepsilon.
No nosso caso, temos:
  • f(x) = -4x + 3
  • a = 1
  • L = -1
Então, precisamos mostrar que para todo varepsilon > 0, existe um de 0 tal que se 0 < |x - 1| < de, então |-4x + 3 - (-1)| = |-4x + 4| < varepsilon.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão |-4x + 4|:
|-4x + 4| = 4|x - 1|
Queremos que isso seja menor que varepsilon:
4|x - 1| < varepsilon
Para isso, basta escolher de de forma que:
4|x - 1| < varepsilon implies |x - 1| < varepsilon4

Passo 4

Então, definimos:
de
Com essa escolha de de, sempre que 0 < |x - 1| < de, teremos:
|f(x) - (-1)| = 4|x - 1| < 4 cdot varepsilon4 = varepsilon
Isso satisfaz a definição de limite.

Resposta

Portanto, mostramos que lim x 1-4x + 3 = -1 utilizando a definição de limite.

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