Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a definição de limite para provar que . Isso está ligado ao estudo de limites em cálculo, especificamente utilizando a definição formal de limite. Vamos precisar entender o que é limite, a definição formal com e , e como aplicá-la à função quando se aproxima de 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de limite. Dizemos que se, para todo número positivo , existe um número positivo tal que sempre que , então .
No nosso caso, temos:
Então, precisamos mostrar que para todo , existe um tal que se , então .
Passo 3
Vamos simplificar a expressão :
Queremos que isso seja menor que :
Para isso, basta escolher de forma que:
Passo 4
Então, definimos:
Com essa escolha de , sempre que , teremos:
Isso satisfaz a definição de limite.
Resposta
Portanto, mostramos que utilizando a definição de limite.