Utilize a definição de limite para mostrar que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar, usando a definição de limite, que quando se aproxima de 1, a expressão se aproxima de 3. Estamos trabalhando com cálculo, especificamente com limites. Para resolver isso, vamos precisar entender e aplicar a definição formal de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a definição de limite. Dizemos que se, para todo número positivo (epsilon) que a gente escolher, existe um número positivo (delta) tal que, sempre que , então . Basicamente, isso significa que podemos deixar tão perto de quanto quisermos, escolhendo suficientemente perto de .

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, queremos provar que . Vamos identificar:
Queremos mostrar que para todo , existe um tal que se , então .

Passo 4

Vamos simplificar a expressão :
Queremos que isso seja menor que :
Dividindo ambos os lados por 2:

Passo 5

Então, para garantir que , basta escolher:
Assim, sempre que , teremos .

Resposta

Portanto, usando a definição de limite, mostramos que .

Exercícios relacionados

Considere a função
(d) Utilize o gráfico do item (a) para determinar se o existe e, caso ele exista, calcule-o.
Estime algebricamente o valor do limite usando os valores de fornecidos. Use uma calculadora.
1 1,5 1,9 1,9999
2,5 2,1 2,01 2,0001
Calcular os seguintes limites:
Calcular os limites seguintes: