Utilize a definição de limite para mostrar que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar, usando a definição de limite, que quando
se aproxima de 1, a expressão
se aproxima de 3. Estamos trabalhando com cálculo, especificamente com limites. Para resolver isso, vamos precisar entender e aplicar a definição formal de limite.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a definição de limite. Dizemos que
se, para todo número positivo
(epsilon) que a gente escolher, existe um número positivo
(delta) tal que, sempre que
, então
. Basicamente, isso significa que podemos deixar
tão perto de
quanto quisermos, escolhendo
suficientemente perto de
.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso, queremos provar que
. Vamos identificar:
Queremos mostrar que para todo
, existe um
tal que se
, então
.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão
:
Queremos que isso seja menor que
:
Dividindo ambos os lados por 2:
Passo 5
Então, para garantir que
, basta escolher:
Assim, sempre que
, teremos
.
Resposta
Portanto, usando a definição de limite, mostramos que
.