Utilize a definição de limite para mostrar que lim x 1(2 x+1)=3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar, usando a definição de limite, que quando se aproxima de 1, a expressão se aproxima de 3. Estamos trabalhando com cálculo, especificamente com limites. Para resolver isso, vamos precisar entender e aplicar a definição formal de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a definição de limite. Dizemos que se, para todo número positivo (epsilon) que a gente escolher, existe um número positivo (delta) tal que, sempre que , então . Basicamente, isso significa que podemos deixar tão perto de quanto quisermos, escolhendo suficientemente perto de .

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, queremos provar que . Vamos identificar:
Queremos mostrar que para todo , existe um tal que se , então .

Passo 4

Vamos simplificar a expressão |(2x + 1) - 3| = |2x - 2| = 2|x - 1| :
2|x - 1| < varepsilon
Queremos que isso seja menor que |x - 1| < varepsilon2 :
Dividindo ambos os lados por 2:

Passo 5

Então, para garantir que de, basta escolher:
Assim, sempre que , teremos .

Resposta

Portanto, usando a definição de limite, mostramos que .

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