Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar, usando a definição de limite, que quando se aproxima de 1, a expressão se aproxima de 3. Estamos trabalhando com cálculo, especificamente com limites. Para resolver isso, vamos precisar entender e aplicar a definição formal de limite.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a definição de limite. Dizemos que se, para todo número positivo (epsilon) que a gente escolher, existe um número positivo (delta) tal que, sempre que , então . Basicamente, isso significa que podemos deixar tão perto de quanto quisermos, escolhendo suficientemente perto de .
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso, queremos provar que . Vamos identificar:
Queremos mostrar que para todo , existe um tal que se , então .
Passo 4
Vamos simplificar a expressão :
Queremos que isso seja menor que :
Dividindo ambos os lados por 2:
Passo 5
Então, para garantir que , basta escolher:
Assim, sempre que , teremos .
Resposta
Portanto, usando a definição de limite, mostramos que .