Considere a função
f(x)= x+5, & se x<-2 -x^2-2 x+3, & se -2 <= x<1 -x+2, & se x >= 1 e x neq 3 2, & se x=3
(e) Determine f(-1) e todos os limites de f no ponto -1 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente determinar e todos os limites de no ponto . Estamos trabalhando com funções definidas por partes, que é um conteúdo de Matemática, mais especificamente de Cálculo. Para isso, vamos precisar entender como a função está definida e como calcular limites de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar f(x) = -x^2 - 2x + 3 . Olhando para a definição da função, vemos que diferentes expressões são usadas para diferentes intervalos de .
Como está entre e (isto é, ), usamos a segunda expressão da função:

Passo 3

Agora, substituímos f(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) + 3 por (-1)^2 = 1 nessa expressão:
-1^2 = -1
Vamos calcular passo a passo:
-2 times (-1) = 2
f(-1) = -1 + 2 + 3 = 4
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular os limites de quando se aproxima de . Lembrando que os limites laterais (pela esquerda e pela direita) podem ser diferentes, então precisamos calcular ambos.

Passo 5

Primeiro, o limite pela esquerda ( f(x) = -x^2 - 2x + 3 ). Para valores de limx to -1^- f(x) = -(-1)^2 - 2(-1) + 3 = 4 um pouquinho menores que , usamos a mesma expressão que usamos para , já que ainda estamos no intervalo :
Então:

Passo 6

Agora, o limite pela direita ( f(x) = -x^2 - 2x + 3 ). Para valores de limx to -1^+ f(x) = -(-1)^2 - 2(-1) + 3 = 4 um pouquinho maiores que , ainda usamos a mesma expressão porque estamos no mesmo intervalo:
Então:

Passo 7

Finalmente, como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e também iguais ao valor da função em , o limite geral de em existe e é igual a .

Resposta

f(-1) = 4 e todos os limites de limx to -1 f(x) = 4 no ponto são iguais a . Ou seja,

Exercícios relacionados