Considere a função
f(x)= a x+b, & x<0 x-x^2, & x >= 0
Calcule o limite lim h 0^+ f(h)-f(0)h.
Resposta: lim h 0^+ f(h)-f(0)h=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função que muda de expressão dependendo de x ser negativo ou positivo. O que a questão pede é para calcular um limite específico quando h se aproxima de zero pela direita. Vamos precisar entender como a função se comporta perto de zero e usar conceitos de limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o valor de f(0). Olhando para a definição da função, quando x é maior ou igual a 0, a função é f(0) = 0 - 0^2 = 0 . Então, substituindo x por 0:

Passo 3

Agora, precisamos calcular f(h), onde h se aproxima de 0 pela direita, ou seja, h > 0. Novamente, para x >= 0, a função é f(h) = h - h^2 . Então:

Passo 4

Vamos montar a expressão do limite que queremos calcular:
lim h 0^+ f(h)-f(0)h
Substituímos f(h) e f(0) pelos valores que encontramos:
lim h 0^+ (h - h^2) - 0h = lim h 0^+ h - h^2h

Passo 5

Simplificamos a fração dividindo cada termo do numerador por h:
hh - h^2h = 1 - h

Passo 6

Agora, calculamos o limite quando h se aproxima de 0 pela direita:
lim h 0^+ (1 - h) = 1 - 0 = 1

Resposta

lim h 0^+ f(h)-f(0)h = 1

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