Determine as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas (quando existirem) das funções abaixo. f(x) = x * e^(-2 * x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas da função . Para isso, vamos usar conceitos de limites e comportamento de funções. Vamos precisar entender como a função se comporta quando tende ao infinito e se existem pontos onde a função não está definida.

Passo 2

Primeiro, vamos procurar pelas assíntotas verticais. Essas ocorrem onde a função não está definida ou onde o denominador se aproxima de zero, causando a função a “explodir” para ou .
Olha a nossa função . O termo nunca é zero e está definida para todo valor de . Além disso, não temos denominadores que possam se anular. Portanto, não existem assíntotas verticais para essa função.

Passo 3

Agora, vamos buscar pelas assíntotas horizontais. Essas assíntotas existem se o limite da função quando tende a ou for um número finito.
Vamos calcular o limite de quando tende a :
Podemos reescrever como , então:
Aqui, o denominador cresce muito mais rápido que o numerador. De fato, o limite dessa expressão é zero. Então, temos:
Agora, vamos verificar quando tende a :
Quando tende a , tende a , que é . Porém, está tendendo a , então o produto tende a , que é indeterminado. Mas, na verdade, a exponencial cresce mais rápido, então o limite também será zero:
Portanto, a função possui uma assíntota horizontal em .

Passo 4

Por último, vamos verificar se existe alguma assíntota oblíqua. Essas ocorrem quando a função se aproxima de uma reta que não é horizontal, geralmente da forma , quando tende ao infinito.
Para verificar isso, precisamos ver se o limite:
Como esse limite é zero (que é o coeficiente angular de uma assíntota oblíqua), não existe assíntota oblíqua para essa função.

Resposta

A função possui apenas uma assíntota horizontal em e não possui assíntotas verticais nem oblíquas.

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