Determine as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas (quando existirem) das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas da função
. Para isso, vamos usar conceitos de limites e comportamento de funções. Vamos precisar entender como a função se comporta quando
tende ao infinito e se existem pontos onde a função não está definida.
Passo 2
Primeiro, vamos procurar pelas assíntotas verticais. Essas ocorrem onde a função não está definida ou onde o denominador se aproxima de zero, causando a função a “explodir” para
ou
.
Olha a nossa função
. O termo
nunca é zero e está definida para todo valor de
. Além disso, não temos denominadores que possam se anular. Portanto, não existem assíntotas verticais para essa função.
Passo 3
Agora, vamos buscar pelas assíntotas horizontais. Essas assíntotas existem se o limite da função quando
tende a
ou
for um número finito.
Vamos calcular o limite de
quando
tende a
:
Podemos reescrever
como
, então:
Aqui, o denominador cresce muito mais rápido que o numerador. De fato, o limite dessa expressão é zero. Então, temos:
Agora, vamos verificar quando
tende a
:
Quando
tende a
,
tende a
, que é
. Porém,
está tendendo a
, então o produto
tende a
, que é indeterminado. Mas, na verdade, a exponencial cresce mais rápido, então o limite também será zero:
Portanto, a função possui uma assíntota horizontal em
.
Passo 4
Por último, vamos verificar se existe alguma assíntota oblíqua. Essas ocorrem quando a função se aproxima de uma reta que não é horizontal, geralmente da forma
, quando
tende ao infinito.
Para verificar isso, precisamos ver se o limite:
Como esse limite é zero (que é o coeficiente angular de uma assíntota oblíqua), não existe assíntota oblíqua para essa função.
Resposta
A função
possui apenas uma assíntota horizontal em
e não possui assíntotas verticais nem oblíquas.