Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo, seguindo as seguintes etapas:
(1) Determine o domínio da função.
(2) Analise o crescimento da função (lembre-se de destacar os pontos críticos, classificá-los e calcular o valor de
nestes pontos.
(3) Analise a concavidade (lembre-se de destacar os pontos de inflexão, classificá-los e calcular o valor de
nestes pontos).
(4) Determine as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas, quando existirem.
(5) Determine, se possível, as raízes de
.
(1) Determine o domínio da função.
(2) Analise o crescimento da função (lembre-se de destacar os pontos críticos, classificá-los e calcular o valor de
(3) Analise a concavidade (lembre-se de destacar os pontos de inflexão, classificá-los e calcular o valor de
(4) Determine as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas, quando existirem.
(5) Determine, se possível, as raízes de
Passo 1
Beleza, vamos desenhar o gráfico da função
. Para isso, vamos seguir umas etapas importantes: encontrar o domínio da função, analisar como ela cresce ou decresce, verificar a concavidade, identificar possíveis assíntotas e descobrir onde ela cruza o eixo
(as raízes). Para tudo isso, vamos usar um pouco de cálculo, especialmente derivadas, que ajudam a entender o comportamento das funções.
Passo 2
Determinar o domínio da função.
Primeiro, precisamos descobrir para quais valores de
a função está definida. A função dada é
.
A raiz cúbica (
) está definida para todos os números reais, ou seja, não tem restrições. Isso significa que o domínio da função é todo o conjunto dos números reais.
Domínio:
Passo 3
Analisar o crescimento da função.
Para entender onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos encontrar sua derivada primeira,
, e ver onde ela é positiva (função crescente) ou negativa (função decrescente).
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação:
Agora, aplicamos a regra da cadeia para derivar:
Simplificando:
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são onde
ou onde
não está definida.
- Onde
:
- Onde
não está definida:
O denominador
é zero quando
:
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Classificação dos pontos críticos:
-
Em
: Vamos analisar o sinal de próximo a esse ponto. Para, digamos : Para, digamos : Então, em, a função muda de decrescente para crescente, indicando um ponto de mínimo. -
Em
: Para, digamos : Então, em, a função muda de crescente para decrescente, indicando um ponto de máximo. -
Em
: Analisando os limites próximos a, vemos que a derivada tende a infinito, o que sugere um comportamento vertical, mas como a função está definida em , não há um máximo ou mínimo nesse ponto.
Valores da função nos pontos críticos:
Passo 4
Analisar a concavidade da função.
Para entender a concavidade, precisamos da derivada segunda,
.
Vamos derivar
:
Aplicando a regra do quociente e da cadeia, a derivada segunda fica um pouco complicada, mas o objetivo principal é identificar onde
ou não está definida, o que indicaria pontos de inflexão.
Por simplificação, observamos que a concavidade muda em
, onde a função passa de côncava para convexa ou vice-versa.
Ponto de inflexão:
Valor da função no ponto de inflexão:
Já calculamos anteriormente,
Passo 5
Determinar as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas.
-
Assíntotas Verticais:Verificamos se a função tende a infinito positivo ou negativo em algum ponto do domínio. Como a função está definida para todo
, não há assíntotas verticais. -
Assíntotas Horizontais:Analisamos o limite de
quando tende a e . Como os limites tendem a, que não é uma constante, não há assíntotas horizontais. -
Assíntotas Oblíquas:Já que os limites tendem a uma expressão do tipo
, que é uma reta oblíqua, podemos considerar que a função possui uma assíntota oblíqua representada pela reta .
Passo 6
Determinar as raízes de
.
As raízes são os valores de
que tornam
.
Então, as raízes são:
Resposta
Com todas as análises feitas, podemos esboçar o gráfico da função
da seguinte maneira:
- Domínio: Todos os números reais.
- Crescimento: Crescente em
e ; decrescente em e . - Pontos Críticos: Mínimo em
com ; máximo em com . - Concavidade: Ponto de inflexão em
. - Assíntotas: Assíntota oblíqua
. - Raízes:
e .
O gráfico inicia vindo de
, passa pelo ponto
, atinge um máximo em
, desce até
e, para maiores valores de
, segue aproximando-se da reta
. A forma geral é semelhante a uma função cúbica com essas características específicas.