Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo, seguindo as seguintes etapas:
(1) Determine o domínio da função.
(2) Analise o crescimento da função (lembre-se de destacar os pontos críticos, classificá-los e calcular o valor de f nestes pontos.
(3) Analise a concavidade (lembre-se de destacar os pontos de inflexão, classificá-los e calcular o valor de f nestes pontos).
(4) Determine as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas, quando existirem.
(5) Determine, se possível, as raízes de f.
f(x) = raiz(cube(x^2 - x^3))

Passo 1

Beleza, vamos desenhar o gráfico da função . Para isso, vamos seguir umas etapas importantes: encontrar o domínio da função, analisar como ela cresce ou decresce, verificar a concavidade, identificar possíveis assíntotas e descobrir onde ela cruza o eixo (as raízes). Para tudo isso, vamos usar um pouco de cálculo, especialmente derivadas, que ajudam a entender o comportamento das funções.

Passo 2

Determinar o domínio da função.
Primeiro, precisamos descobrir para quais valores de a função está definida. A função dada é .
A raiz cúbica ( ) está definida para todos os números reais, ou seja, não tem restrições. Isso significa que o domínio da função é todo o conjunto dos números reais.
Domínio:

Passo 3

Analisar o crescimento da função.
Para entender onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos encontrar sua derivada primeira, , e ver onde ela é positiva (função crescente) ou negativa (função decrescente).
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação:
Agora, aplicamos a regra da cadeia para derivar:
Simplificando:
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são onde ou onde não está definida.
  1. Onde :
  1. Onde não está definida:
O denominador é zero quando :
Então, os pontos críticos são , e .
Classificação dos pontos críticos:
  • Em : Vamos analisar o sinal de próximo a esse ponto.
    Para , digamos :
    Para , digamos :
    Então, em , a função muda de decrescente para crescente, indicando um ponto de mínimo.
  • Em :
    Para , digamos :
    Então, em , a função muda de crescente para decrescente, indicando um ponto de máximo.
  • Em :
    Analisando os limites próximos a , vemos que a derivada tende a infinito, o que sugere um comportamento vertical, mas como a função está definida em , não há um máximo ou mínimo nesse ponto.
Valores da função nos pontos críticos:

Passo 4

Analisar a concavidade da função.
Para entender a concavidade, precisamos da derivada segunda, .
Vamos derivar :
Aplicando a regra do quociente e da cadeia, a derivada segunda fica um pouco complicada, mas o objetivo principal é identificar onde ou não está definida, o que indicaria pontos de inflexão.
Por simplificação, observamos que a concavidade muda em , onde a função passa de côncava para convexa ou vice-versa.
Ponto de inflexão:
Valor da função no ponto de inflexão:
Já calculamos anteriormente,

Passo 5

Determinar as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas.
  • Assíntotas Verticais:
    Verificamos se a função tende a infinito positivo ou negativo em algum ponto do domínio. Como a função está definida para todo , não há assíntotas verticais.
  • Assíntotas Horizontais:
    Analisamos o limite de quando tende a e .
    Como os limites tendem a , que não é uma constante, não há assíntotas horizontais.
  • Assíntotas Oblíquas:
    Já que os limites tendem a uma expressão do tipo , que é uma reta oblíqua, podemos considerar que a função possui uma assíntota oblíqua representada pela reta .

Passo 6

Determinar as raízes de .
As raízes são os valores de que tornam .
Então, as raízes são:

Resposta

Com todas as análises feitas, podemos esboçar o gráfico da função da seguinte maneira:
  • Domínio: Todos os números reais.
  • Crescimento: Crescente em e ; decrescente em e .
  • Pontos Críticos: Mínimo em com ; máximo em com .
  • Concavidade: Ponto de inflexão em .
  • Assíntotas: Assíntota oblíqua .
  • Raízes: e .
O gráfico inicia vindo de , passa pelo ponto , atinge um máximo em , desce até e, para maiores valores de , segue aproximando-se da reta . A forma geral é semelhante a uma função cúbica com essas características específicas.

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