Considere a função f(x) = -x / (x^2 + 1) definida nos reais.
a) Determine o valor da inclinação da reta tangente a f(x) em x = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função e precisa descobrir a inclinação da reta tangente a essa função no ponto onde . Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos dá a taxa de variação da função em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a inclinação da reta tangente em um ponto é exatamente o valor da derivada da função nesse ponto. Então, nosso objetivo agora é encontrar a derivada de e depois avaliar essa derivada em .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . Como temos uma fração, vamos usar a Regra do Quociente, que diz que se , então a derivada é:
No nosso caso, e . Vamos encontrar as derivadas de e :
Agora, aplicando a Regra do Quociente:
Simplificando o numerador:

Passo 4

Agora que temos a derivada , vamos substituir para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto:

Resposta

A inclinação da reta tangente à função em é 0.

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