Considere a função polinomial definida por
. Determine o valor de
para que
tenha um único ponto de tangência horizontal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse problema! A gente tem uma função polinomial
e precisa encontrar o valor de
que faz com que essa função tenha um único ponto de tangência horizontal.
Para resolver isso, vamos usar Cálculo, mais especificamente, a derivada da função. A derivada nos ajuda a encontrar onde a inclinação da função é zero, ou seja, onde existem pontos horizontais na curva.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. A derivada, denotada por
, nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto
da função.
A regra para derivar é aplicar a potência de cada termo:
Calculando cada derivada:
Passo 3
Agora, queremos que a função tenha um único ponto de tangência horizontal. Isso significa que a derivada
deve ser igual a zero apenas em um único ponto.
Então, vamos igualar a derivada a zero e resolver para
:
Passo 4
Para que essa equação quadrática tenha uma única solução, o discriminante da equação deve ser igual a zero. O discriminante
de uma equação quadrática
é dado por:
Se
, a equação tem uma única raiz real, ou seja, apenas um ponto de tangência horizontal.
No nosso caso,
,
e
. Então:
Para ter apenas uma solução:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
:
Resposta
O valor de
que faz com que a função
tenha um único ponto de tangência horizontal é
.
Exercícios relacionados
A equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto de coordenada
é paralela a reta de equação
e passa pela origem. Determine
e
.
Determine a derivada das seguintes funções:
c)
c)
Considere a função
definida nos reais.
a) Determine o valor da inclinação da reta tangente a em
.
a) Determine o valor da inclinação da reta tangente a
Considere a função
definida nos reais.
b) Dê a equação da reta tangente ao gráfico neste ponto.
b) Dê a equação da reta tangente ao gráfico neste ponto.