Considere a função polinomial definida por . Determine o valor de para que tenha um único ponto de tangência horizontal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse problema! A gente tem uma função polinomial e precisa encontrar o valor de que faz com que essa função tenha um único ponto de tangência horizontal.
Para resolver isso, vamos usar Cálculo, mais especificamente, a derivada da função. A derivada nos ajuda a encontrar onde a inclinação da função é zero, ou seja, onde existem pontos horizontais na curva.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada, denotada por , nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto da função.
A regra para derivar é aplicar a potência de cada termo:
Calculando cada derivada:

Passo 3

Agora, queremos que a função tenha um único ponto de tangência horizontal. Isso significa que a derivada deve ser igual a zero apenas em um único ponto.
Então, vamos igualar a derivada a zero e resolver para :

Passo 4

Para que essa equação quadrática tenha uma única solução, o discriminante da equação deve ser igual a zero. O discriminante de uma equação quadrática é dado por:
Se , a equação tem uma única raiz real, ou seja, apenas um ponto de tangência horizontal.
No nosso caso, , e . Então:
Para ter apenas uma solução:

Passo 5

Agora, vamos resolver para :

Resposta

O valor de que faz com que a função tenha um único ponto de tangência horizontal é .

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A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto de coordenada é paralela a reta de equação e passa pela origem. Determine e .
Determine a derivada das seguintes funções:
c)
Considere a função definida nos reais.
a) Determine o valor da inclinação da reta tangente a em .
Considere a função definida nos reais.
b) Dê a equação da reta tangente ao gráfico neste ponto.