A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto de coordenada é paralela a reta de equação e passa pela origem. Determine e .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função e queremos encontrar dois valores: e . Para isso, o enunciado nos dá que a reta tangente ao gráfico de no ponto onde é paralela a outra reta dada por e que essa reta tangente passa pela origem (ponto ). Vamos usar conceitos de derivadas e de retas paralelas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a inclinação da reta . Para isso, colocamos a equação na forma da inclinação , onde é o coeficiente angular.
Então, a inclinação dessa reta é .

Passo 3

Como a reta tangente a no ponto é paralela a essa reta, ela também tem a mesma inclinação. Ou seja, o coeficiente angular da reta tangente é .

Passo 4

Sabemos que a reta tangente passa pelo ponto onde , que é , e também passa pela origem . Vamos usar esses dois pontos para encontrar a equação da reta tangente.
Usamos a forma da equação da reta com inclinação e passando por um ponto :
Escolhendo o ponto :

Passo 5

Agora, vamos usar o fato de que a reta tangente também passa pelo ponto . Substituímos e na equação da reta tangente:

Passo 6

Para encontrar , lembramos que a derivada de em é exatamente o coeficiente angular da reta tangente nesse ponto. Já identificamos que , então:

Resposta

e .

Exercícios relacionados

Determine a derivada das seguintes funções:
c)
Determine para
Considere a função polinomial definida por . Determine o valor de para que tenha um único ponto de tangência horizontal.
Considere a função definida nos reais.
a) Determine o valor da inclinação da reta tangente a em .