A equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto de coordenada
é paralela a reta de equação
e passa pela origem. Determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
e queremos encontrar dois valores:
e
. Para isso, o enunciado nos dá que a reta tangente ao gráfico de
no ponto onde
é paralela a outra reta dada por
e que essa reta tangente passa pela origem (ponto
). Vamos usar conceitos de derivadas e de retas paralelas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a inclinação da reta
. Para isso, colocamos a equação na forma da inclinação
, onde
é o coeficiente angular.
Então, a inclinação
dessa reta é
.
Passo 3
Como a reta tangente a
no ponto
é paralela a essa reta, ela também tem a mesma inclinação. Ou seja, o coeficiente angular da reta tangente é
.
Passo 4
Sabemos que a reta tangente passa pelo ponto onde
, que é
, e também passa pela origem
. Vamos usar esses dois pontos para encontrar a equação da reta tangente.
Usamos a forma da equação da reta com inclinação
e passando por um ponto
:
Escolhendo o ponto
:
Passo 5
Agora, vamos usar o fato de que a reta tangente também passa pelo ponto
. Substituímos
e
na equação da reta tangente:
Passo 6
Para encontrar
, lembramos que a derivada de
em
é exatamente o coeficiente angular da reta tangente nesse ponto. Já identificamos que
, então:
Resposta
Exercícios relacionados
Determine a derivada das seguintes funções:
c)
c)
Determine
para
Considere a função polinomial definida por
. Determine o valor de
para que
tenha um único ponto de tangência horizontal.
Considere a função
definida nos reais.
a) Determine o valor da inclinação da reta tangente a em
.
a) Determine o valor da inclinação da reta tangente a