Considere a função f(x) = x / (x^2 - 9). Determine:
(a) O domínio de f e os pontos de interseção de seu gráfico com os eixos coordenados;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que trata da função . Nosso objetivo aqui é encontrar o domínio dessa função e os pontos de interseção do gráfico dela com os eixos coordenados. Para isso, vamos precisar entender o que restringe o domínio de uma função racional e como determinar onde o gráfico cruza os eixos e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No caso de funções racionais, como a nossa, precisamos garantir que o denominador não seja zero, pois divisão por zero não é permitida.
Então, temos que o denominador não pode ser igual a zero:
Vamos resolver essa desigualdade:
Portanto, o domínio da função é todos os números reais menos e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos de interseção do gráfico da função com os eixos coordenados. Primeiro, vamos encontrar onde o gráfico cruza o eixo . Para isso, substituímos na função:
Então, o ponto de interseção com o eixo é .

Passo 4

Em seguida, vamos descobrir onde o gráfico cruza o eixo . Para isso, precisamos encontrar os valores de que fazem :
A fração será igual a zero quando o numerador for zero, desde que o denominador não seja zero. Então:
Como está no domínio da função (já vimos que apenas e estão excluídos), o ponto de interseção com o eixo também é .

Resposta

O domínio da função é todos os números reais exceto e . Além disso, o gráfico da função intersecta os eixos coordenados no ponto .

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