Considere a função
. Determine:
(a) O domínio de
e os pontos de interseção de seu gráfico com os eixos coordenados;
(a) O domínio de
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que trata da função
. Nosso objetivo aqui é encontrar o domínio dessa função e os pontos de interseção do gráfico dela com os eixos coordenados. Para isso, vamos precisar entender o que restringe o domínio de uma função racional e como determinar onde o gráfico cruza os eixos
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função
. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. No caso de funções racionais, como a nossa, precisamos garantir que o denominador não seja zero, pois divisão por zero não é permitida.
Então, temos que o denominador
não pode ser igual a zero:
Vamos resolver essa desigualdade:
Portanto, o domínio da função
é todos os números reais menos
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção do gráfico da função com os eixos coordenados. Primeiro, vamos encontrar onde o gráfico cruza o eixo
. Para isso, substituímos
na função:
Então, o ponto de interseção com o eixo
é
.
Passo 4
Em seguida, vamos descobrir onde o gráfico cruza o eixo
. Para isso, precisamos encontrar os valores de
que fazem
:
A fração será igual a zero quando o numerador for zero, desde que o denominador não seja zero. Então:
Como
está no domínio da função (já vimos que apenas
e
estão excluídos), o ponto de interseção com o eixo
também é
.
Resposta
O domínio da função
é todos os números reais exceto
e
. Além disso, o gráfico da função intersecta os eixos coordenados no ponto
.
Exercícios relacionados
Determine o valor de
para que a função
seja contínua.
Verifique que
é uma solução das equações diferenciais homogêneas, utilize o método da redução de ordem para determinar a outra solução linearmente independente e o método da variação de parâmetros para obter uma solução particular de:
a)
a)
Use a Regra da Cadeia para achar a derivada
em cada item abaixo.
,
e
.
Determine as funções
e
tais que:
e
.