Determine o valor de
para que a função
seja contínua.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor de
que faz a função
ser contínua no ponto
. Aqui estamos trabalhando com funções de duas variáveis e continuidade. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua nesse ponto e calcular o limite da função quando
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade em um ponto. Uma função
é contínua no ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos que a função seja contínua em
, então precisamos que:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. A função é dada por:
Para facilitar o cálculo do limite, vamos converter para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares:
Onde
é a distância até a origem e
é o ângulo.
Passo 4
Substituindo
e
por suas expressões em coordenadas polares na função:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite quando
tende a 0:
Como
e
estão limitados (os valores nunca ultrapassam 1 em módulo), o termo
vai dominar e fazer com que todo o limite seja 0.
Resposta
Portanto, o valor de
que torna a função contínua no ponto
é:
Exercícios relacionados
Verifique que
é uma solução das equações diferenciais homogêneas, utilize o método da redução de ordem para determinar a outra solução linearmente independente e o método da variação de parâmetros para obter uma solução particular de:
a)
a)
Considere a função
. Determine:
(b) Suas assíntotas, caso existam;
(b) Suas assíntotas, caso existam;
Considere a função
. Determine:
(a) O domínio de e os pontos de interseção de seu gráfico com os eixos coordenados;
(a) O domínio de
Use a Regra da Cadeia para achar a derivada
em cada item abaixo.
,
e
.