Determine o valor de L para que a função
f(x, y)=ccc 3 x^2 yx^2+y^2, & se & (x, y) neq(0,0) L & se & (x, y)=(0,0)
seja contínua.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor de que faz a função ser contínua no ponto . Aqui estamos trabalhando com funções de duas variáveis e continuidade. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua nesse ponto e calcular o limite da função quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade em um ponto. Uma função lim(x, y) to (a, b) f(x, y) = f(a, b) é contínua no ponto lim(x, y) to (0, 0) f(x, y) = L se o limite de quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos que a função seja contínua em , então precisamos que:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da função f(x, y) = 3x^2yx^2 + y^2 quando x = r cos(theta) y = r sin(theta) se aproxima de . A função é dada por:
Para facilitar o cálculo do limite, vamos converter para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares:
Onde é a distância até a origem e é o ângulo.

Passo 4

Substituindo f(r, theta) = 3(r cos(theta))^2 (r sin(theta))(r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^2 e f(r, theta) = 3r^2 cos^2(theta) cdot r sin(theta)r^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta)) por suas expressões em coordenadas polares na função:
f(r, theta) = 3r^3 cos^2(theta) sin(theta)r^2 = 3r cos^2(theta) sin(theta)
Simplificando:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite quando limr to 0 3r cos^2(theta) sin(theta) tende a 0:
Como e estão limitados (os valores nunca ultrapassam 1 em módulo), o termo vai dominar e fazer com que todo o limite seja 0.

Resposta

Portanto, o valor de L = 0 que torna a função contínua no ponto é:

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