Determine o valor de para que a função
seja contínua.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor de que faz a função ser contínua no ponto . Aqui estamos trabalhando com funções de duas variáveis e continuidade. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua nesse ponto e calcular o limite da função quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade em um ponto. Uma função é contínua no ponto se o limite de quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos que a função seja contínua em , então precisamos que:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de . A função é dada por:
Para facilitar o cálculo do limite, vamos converter para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares:
Onde é a distância até a origem e é o ângulo.

Passo 4

Substituindo e por suas expressões em coordenadas polares na função:
Simplificando:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite quando tende a 0:
Como e estão limitados (os valores nunca ultrapassam 1 em módulo), o termo vai dominar e fazer com que todo o limite seja 0.

Resposta

Portanto, o valor de que torna a função contínua no ponto é:

Exercícios relacionados

Verifique que é uma solução das equações diferenciais homogêneas, utilize o método da redução de ordem para determinar a outra solução linearmente independente e o método da variação de parâmetros para obter uma solução particular de:
a)
Considere a função . Determine:
(b) Suas assíntotas, caso existam;
Considere a função . Determine:
(a) O domínio de e os pontos de interseção de seu gráfico com os eixos coordenados;
Use a Regra da Cadeia para achar a derivada em cada item abaixo.
, e .