Verifique que é uma solução das equações diferenciais homogêneas, utilize o método da redução de ordem para determinar a outra solução linearmente independente e o método da variação de parâmetros para obter uma solução particular de:
a)

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar que é uma solução da equação diferencial homogênea . Depois, usaremos o método da redução de ordem para encontrar outra solução que seja linearmente independente. Por fim, vamos aplicar o método da variação de parâmetros para encontrar uma solução particular da equação não homogênea .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se realmente é uma solução da equação homogênea .
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Então, confirmamos que é uma solução.

Passo 3

Agora, vamos usar o método da redução de ordem para encontrar uma segunda solução, , que seja linearmente independente de .
Sabemos que, para equações lineares homogêneas de segunda ordem, se já temos uma solução conhecida, a segunda solução pode ser encontrada assumindo que:
onde é uma função a ser determinada.

Passo 4

Calculamos as derivadas de :
Substituindo na equação homogênea :
Simplificando:

Passo 5

Para simplificar, fazemos . Então, a equação fica:
Dividindo por :
Esta é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando um fator integrante.

Passo 6

O fator integrante é dado por:
Multiplicando a equação por :
Isso se reescreve como:
Integrando:
Logo:

Passo 7

Lembrando que , temos:
Integrando novamente:
Podemos escolher sem perda de generalidade, então:

Passo 8

Agora, substituímos na expressão para :
Podemos simplificar tomando , então:

Passo 9

Agora que temos duas soluções da equação homogênea:
elas são linearmente independentes e formam a base das soluções da equação homogênea.

Passo 10

Vamos agora encontrar uma solução particular da equação não homogênea usando o método da variação de parâmetros.
A fórmula para a solução particular é:
onde é o Wronskiano das soluções homogêneas e .

Passo 11

Primeiro, calculamos o Wronskiano das soluções e :

Passo 12

Substituindo na fórmula da solução particular:
Simplificando:

Passo 13

Simplificamos as integrais:
Então:

Passo 14

Calculando as integrais:
Usamos a identidade :

Passo 15

Substituindo de volta:
Simplificando:
Os termos e se anulam, restando:

Resposta

A solução particular da equação é:

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