Verifique que
é uma solução das equações diferenciais homogêneas, utilize o método da redução de ordem para determinar a outra solução linearmente independente e o método da variação de parâmetros para obter uma solução particular de:
a)
a)
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar que é uma solução da equação diferencial homogênea
. Depois, usaremos o método da redução de ordem para encontrar outra solução que seja linearmente independente. Por fim, vamos aplicar o método da variação de parâmetros para encontrar uma solução particular da equação não homogênea
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se realmente é uma solução da equação homogênea
.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Então, confirmamos que é uma solução.
Passo 3
Agora, vamos usar o método da redução de ordem para encontrar uma segunda solução,
, que seja linearmente independente de .
Sabemos que, para equações lineares homogêneas de segunda ordem, se já temos uma solução conhecida, a segunda solução pode ser encontrada assumindo que:
onde
é uma função a ser determinada.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo na equação homogênea
:
Simplificando:
Passo 5
Para simplificar, fazemos
. Então, a equação fica:
Dividindo por :
Esta é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando um fator integrante.
Passo 6
O fator integrante
é dado por:
Multiplicando a equação por
:
Isso se reescreve como:
Integrando:
Logo:
Passo 7
Lembrando que
, temos:
Integrando novamente:
Podemos escolher
sem perda de generalidade, então:
Passo 8
Agora, substituímos
na expressão para
:
Podemos simplificar tomando
, então:
Passo 9
Agora que temos duas soluções da equação homogênea:
elas são linearmente independentes e formam a base das soluções da equação homogênea.
Passo 10
Vamos agora encontrar uma solução particular da equação não homogênea
usando o método da variação de parâmetros.
A fórmula para a solução particular é:
onde
é o Wronskiano das soluções homogêneas e
.
Passo 11
Primeiro, calculamos o Wronskiano
das soluções e
:
Passo 12
Substituindo na fórmula da solução particular:
Simplificando:
Passo 13
Simplificamos as integrais:
Então:
Passo 14
Calculando as integrais:
Usamos a identidade :
Passo 15
Substituindo de volta:
Simplificando:
Os termos e se anulam, restando:
Resposta
A solução particular da equação
é:
Exercícios relacionados
Considere a função
. Determine:
(b) Suas assíntotas, caso existam;
(b) Suas assíntotas, caso existam;
Suponha que
e
para todo
.
(a) Esboce um possível gráfico para ;
(a) Esboce um possível gráfico para
Determine o valor de
para que a função
seja contínua.
Considere a função
. Determine:
(a) O domínio de e os pontos de interseção de seu gráfico com os eixos coordenados;
(a) O domínio de