Considere a função Esboce o gráfico de .

Passo 1

Beleza, temos que esboçar o gráfico da função . Esse exercício envolve entender funções racionais, ou seja, funções que são quocientes de polinômios. Vamos precisar descobrir o domínio da função, as assimptotas (tanto verticais quanto horizontais), os pontos onde a função intercepta os eixos, e como ela se comporta nos diferentes intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando a função , percebemos que o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não é permitida. Então, resolvemos:
Portanto, a função não está definida para e . Assim, o domínio é todos os números reais menos e .

Passo 3

Agora, vamos identificar as assimptotas verticais. Essas ocorrem nos valores de que fazem o denominador ser zero, já que a função tende ao infinito nesses pontos. Já vimos que isso acontece em e . Então, temos duas assimptotas verticais:

Passo 4

Vamos encontrar a assimptota horizontal. Para funções racionais, a assimptota horizontal depende dos graus do polinômio do numerador e do denominador. No nosso caso:
  • Grau do numerador (x): 1
  • Grau do denominador ( ): 2
Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, o limite da função quando tende ao infinito é zero. Então,
Portanto, a assimptota horizontal é:

Passo 5

Vamos achar os interceptos com os eixos.
  • Intercepto com o eixo y: ocorre quando . Substituindo na função:
Então, o intercepto com o eixo y é no ponto .
  • Intercepto com o eixo x: ocorre quando . Isso acontece quando o numerador é zero:
Portanto, o intercepto com o eixo x também é no ponto .

Passo 6

Por fim, vamos analisar o comportamento da função nos diferentes intervalos definidos pelas assimptotas verticais e . Vamos verificar se a função é positiva ou negativa em cada intervalo:
Escolhemos um valor de teste em cada intervalo e substituímos na função para ver o sinal:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :
Assim, podemos resumir:
  • :
  • :
  • :
  • :

Resposta

Com base nas análises realizadas, o gráfico da função possui duas assimptotas verticais em e , e uma assimptota horizontal em . A função intercepta os eixos no ponto . O comportamento da função varia nos intervals determinados pelas assimptotas verticais, sendo positiva em e , e negativa em e . O esboço do gráfico refletirá essas características, com a função aproximando-se das assimptotas nas regiões correspondentes.

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