Considere a função
Esboce o gráfico de
.
Passo 1
Beleza, temos que esboçar o gráfico da função
. Esse exercício envolve entender funções racionais, ou seja, funções que são quocientes de polinômios. Vamos precisar descobrir o domínio da função, as assimptotas (tanto verticais quanto horizontais), os pontos onde a função intercepta os eixos, e como ela se comporta nos diferentes intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. Olhando a função
, percebemos que o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não é permitida. Então, resolvemos:
Portanto, a função não está definida para
e
. Assim, o domínio é todos os números reais menos
e
.
Passo 3
Agora, vamos identificar as assimptotas verticais. Essas ocorrem nos valores de
que fazem o denominador ser zero, já que a função tende ao infinito nesses pontos. Já vimos que isso acontece em
e
. Então, temos duas assimptotas verticais:
Passo 4
Vamos encontrar a assimptota horizontal. Para funções racionais, a assimptota horizontal depende dos graus do polinômio do numerador e do denominador. No nosso caso:
- Grau do numerador (x): 1
- Grau do denominador (
): 2
Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, o limite da função quando
tende ao infinito é zero. Então,
Portanto, a assimptota horizontal é:
Passo 5
Vamos achar os interceptos com os eixos.
- Intercepto com o eixo y: ocorre quando
. Substituindo na função:
Então, o intercepto com o eixo y é no ponto
.
- Intercepto com o eixo x: ocorre quando
. Isso acontece quando o numerador é zero:
Portanto, o intercepto com o eixo x também é no ponto
.
Passo 6
Por fim, vamos analisar o comportamento da função nos diferentes intervalos definidos pelas assimptotas verticais
e
. Vamos verificar se a função é positiva ou negativa em cada intervalo:
Escolhemos um valor de teste em cada intervalo e substituímos na função para ver o sinal:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Assim, podemos resumir:
-
: -
: -
: -
:
Resposta
Com base nas análises realizadas, o gráfico da função
possui duas assimptotas verticais em
e
, e uma assimptota horizontal em
. A função intercepta os eixos no ponto
. O comportamento da função varia nos intervals determinados pelas assimptotas verticais, sendo positiva em
e
, e negativa em
e
. O esboço do gráfico refletirá essas características, com a função aproximando-se das assimptotas nas regiões correspondentes.
Exercícios relacionados
Um empréstimo de R$
deve ser devolvido via
50 prestações mensais, a uma taxa de juros de
ao mês. Pede-se:
© A soma das 20 primeiras prestações.
© A soma das 20 primeiras prestações.
Esboce o gráfico da função
.
Considere a função
Indique os intervalos de crescimento, decrescimento, os pontos críticos e os máximos e mínimos locais de
, caso existam;
Considere os vetores
e
. Calcule: