Considere a função Indique os intervalos de crescimento, decrescimento, os pontos críticos e os máximos e mínimos locais de , caso existam;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente analisar a função e descobrir onde ela está crescendo ou decrescendo, identificar os pontos críticos e ver se tem algum máximo ou mínimo local. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, que vão nos ajudar a entender o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, como ela está mudando em cada ponto.
A função é uma fração, então vamos usar a regra do quociente para derivar:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são aqueles onde a derivada é zero ou não existe. Vamos resolver :
O numerador precisa ser igual a zero:
Essa equação não tem solução real, então não há pontos onde a derivada é zero. Agora, verificamos onde a derivada não existe, ou seja, onde o denominador é zero:
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 4

Vamos analisar onde a função está crescendo ou decrescendo observando o sinal da derivada .
A derivada é:
O denominador é sempre positivo, exceto nos pontos e onde ele é zero.
O numerador é sempre negativo porque é sempre positivo e estamos somando com -9.
Então, é sempre negativo onde está definida, ou seja, para todos os exceto e .

Passo 5

Como a derivada é sempre negativa, isso significa que a função está sempre decrescendo nos intervalos onde está definida. Não há intervalos de crescimento.

Passo 6

Como não existem pontos onde a derivada é zero e a função está sempre decrescendo, não há máximos ou mínimos locais. Os únicos pontos críticos são as assimptotas verticais em e , onde a função não está definida.

Resposta

A função está sempre decrescendo nos intervalos e . Não há pontos críticos que sejam máximos ou mínimos locais.

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