Um empréstimo de R$ deve ser devolvido via 50 prestações mensais, a uma taxa de juros de ao mês. Pede-se:
© A soma das 20 primeiras prestações.

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é a questão aqui. Você tem um empréstimo de R$ 250.000,00 que será pago em 50 prestações mensais usando o sistema de SAC (Sistema de Amortização Constante), com uma taxa de juros de 2% ao mês. O que a gente precisa descobrir é a soma das 20 primeiras prestações.
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o SAC, calcular a amortização constante e depois somar os valores das primeiras 20 prestações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Sistema de Amortização Constante (SAC). Nesse sistema, a parte do pagamento que vai para a amortização (ou seja, a redução do principal da dívida) é sempre a mesma em todas as prestações. Já a parte dos juros diminui ao longo do tempo, porque a dívida vai sendo abatida.

Passo 3

Vamos calcular a amortização constante. Como o valor total do empréstimo é de R$ 250.000,00 e serão 50 prestações, a amortização em cada parcela é:
Então, em cada parcela, R$ 5.000,00 vão para abater o principal da dívida.

Passo 4

Agora, vamos calcular os juros de cada parcela. A taxa de juros é de 2% ao mês. No SAC, os juros são calculados sobre o saldo devedor no início de cada mês.
Para a primeira prestação, o saldo devedor é o valor total do empréstimo, ou seja, R$ 250.000,00. Assim, os juros da primeira parcela são:
Então, a primeira parcela total é:

Passo 5

Para as prestações seguintes, o saldo devedor diminui a cada pagamento de amortização. Por exemplo, na segunda prestação, o saldo devedor é:
Logo, os juros da segunda parcela são:
E a segunda parcela fica:

Passo 6

Para somar as 20 primeiras prestações, precisamos somar todas as parcelas de P₁ até P₂₀. Observando o padrão, cada parcela diminui R$ 100,00 nos juros (porque 2% de 5.000 é 100).
Podemos calcular a soma das 20 parcelas da seguinte maneira:
Simplificando:
Calculando a soma dos juros:
Então:

Resposta

A soma das 20 primeiras prestações é de R$ 181.000,00.

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Esboce o gráfico da função .
Um empréstimo de R$ deve ser devolvido via 50 prestações mensais, a uma taxa de juros de ao mês. Pede-se:
(b) A soma das 20 primeiras amortizações;
Considere a função Esboce o gráfico de .
Considere a função Indique os intervalos de crescimento, decrescimento, os pontos críticos e os máximos e mínimos locais de , caso existam;