Esboce o gráfico da função .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de esboçar o gráfico da função . Aqui, estamos lidando com funções que envolvem termos exponenciais. Para desenhar o gráfico, vamos precisar identificar pontos importantes como interceptações, comportamento para valores grandes de , derivada para encontrar máximos ou mínimos, e quaisquer assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a intercetação com o eixo . Isso acontece quando . Substituindo na função:
Então, o ponto (0, 0) está no gráfico.

Passo 3

Agora, vamos procurar a intercetação com o eixo . Para isso, resolvemos :
Como nunca é zero, apenas é a solução. Então, a única intercetação com o eixo também é (0, 0).

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função para indo para mais infinito e menos infinito.
  • Quando :
  • Quando :
Isso nos dá uma ideia de como a função se comporta nas extremidades.

Passo 5

Vamos encontrar os pontos críticos para identificar máximos ou mínimos locais. Calculamos a derivada de :
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Como nunca é zero, temos ou .

Passo 6

Vamos verificar se é um máximo ou mínimo. Observamos a derivada:
  • Para , digamos :
  • Para , digamos :
Então, em há um ponto de máximo.
Vamos encontrar o valor de :
Então, o ponto máximo é aproximadamente (1, 0,736).

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • Passa pela origem (0,0).
  • Tem um ponto máximo em (1, 0,736).
  • Para , a função se aproxima de zero.
  • Para , a função tende a .

Resposta

O gráfico da função passa pela origem, atinge um ponto máximo em , decresce para zero conforme aumenta e tende a quando se torna muito negativo.

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