Esboce o gráfico da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de esboçar o gráfico da função
. Aqui, estamos lidando com funções que envolvem termos exponenciais. Para desenhar o gráfico, vamos precisar identificar pontos importantes como interceptações, comportamento para valores grandes de
, derivada para encontrar máximos ou mínimos, e quaisquer assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a intercetação com o eixo
. Isso acontece quando
. Substituindo na função:
Então, o ponto (0, 0) está no gráfico.
Passo 3
Agora, vamos procurar a intercetação com o eixo
. Para isso, resolvemos
:
Como
nunca é zero, apenas
é a solução. Então, a única intercetação com o eixo
também é (0, 0).
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da função para
indo para mais infinito e menos infinito.
- Quando
:
- Quando
:
Isso nos dá uma ideia de como a função se comporta nas extremidades.
Passo 5
Vamos encontrar os pontos críticos para identificar máximos ou mínimos locais. Calculamos a derivada de
:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Como
nunca é zero, temos
ou
.
Passo 6
Vamos verificar se
é um máximo ou mínimo. Observamos a derivada:
- Para
, digamos :
- Para
, digamos :
Então, em
há um ponto de máximo.
Vamos encontrar o valor de
:
Então, o ponto máximo é aproximadamente (1, 0,736).
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Passa pela origem (0,0).
- Tem um ponto máximo em (1, 0,736).
- Para
, a função se aproxima de zero. - Para
, a função tende a .
Resposta
O gráfico da função
passa pela origem, atinge um ponto máximo em
, decresce para zero conforme
aumenta e tende a
quando
se torna muito negativo.
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Considere a função
Esboce o gráfico de
.