O resultado da integral indefinida integral 13 x raiz[3]ln x d x é

Passo 1

Beleza, temos a integral indefinida integral 13 x raiz[3]ln x , dx. Vamos resolver isso usando técnicas de cálculo integral, especificamente a substituição, que ajuda a simplificar integrais mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para facilitar a integral. Observamos que temos ln x dentro da raiz cúbica. Vamos deixar u = ln x. Essa substituição é útil porque a derivada de ln x aparece na expressão.

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de u em relação a x:
u = ln x dudx = 1x Rightarrow du = 1x , dx
Isso significa que 1x , dx pode ser substituído por du na integral.

Passo 4

Substituindo u e du na integral original:
integral 13 x raiz[3]ln x , dx = integral 13 u^1/3 , du
Aqui, simplificamos raiz[3]ln x para u^1/3.

Passo 5

Agora, fatoramos a constante 13 para fora da integral:
13 integral u^-1/3 , du
Lembrando que u^-1/3 = 1u^1/3.

Passo 6

Integramos u^-1/3 em relação a u:
integral u^-1/3 , du = u^2/323 + C = 32 u^2/3 + C
Multiplicando pela constante que tiramos antes:
13 cdot 32 u^2/3 + C = 12 u^2/3 + C

Passo 7

Finalmente, substituímos u de volta por ln x:
12 (ln x)^2/3 + C

Resposta

12 ( ln x )^23 + C

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