Seja uma função de classe e assuma que a função derivada parcial é de classe . Use o teorema de Clairaut-Schwarz para concluir que

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício fala sobre uma função que é da classe , ou seja, tem derivadas contínuas até a segunda ordem. Além disso, a derivada parcial também é de classe . A gente precisa usar o Teorema de Clairaut-Schwarz para mostrar que:
Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Clairaut-Schwarz e como aplicar as derivadas parciais de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Clairaut-Schwarz. Esse teorema diz que, se uma função tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então as derivadas mistas são iguais. Ou seja:
Isso significa que, se as derivadas parciais de segunda ordem existem e são contínuas, a ordem de diferenciação não altera o resultado.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o que o exercício pede. Queremos mostrar uma igualdade envolvendo derivadas de ordem mais alta:
Vamos entender cada parte dessa expressão.

Passo 4

No lado esquerdo da igualdade, temos:
Isso significa que primeiro derivamos em relação a , e depois derivamos essa função duas vezes em relação a .
No lado direito, temos:
Aqui, primeiro derivamos duas vezes em relação a , e depois derivamos o resultado em relação a .

Passo 5

Para provar que esses dois lados são iguais, vamos usar o Teorema de Clairaut-Schwarz. Sabemos que é de classe e que também é de classe . Isso implica que todas as derivadas de segunda ordem de são contínuas.

Passo 6

Vamos começar expandindo o lado esquerdo:
Aqui, usamos a definição de derivada de segunda ordem.

Passo 7

Agora, considerando o lado direito:
Também aqui, aplicamos a definição de derivada de segunda ordem.

Passo 8

Pelo Teorema de Clairaut-Schwarz, sabemos que:
Então, substituindo isso nas expressões que obtivemos:
E:

Passo 9

Observamos que ambas as expressões finais são iguais:
Isso conclui a prova usando o Teorema de Clairaut-Schwarz.

Resposta

Concluímos que:

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Seja uma função que admite as derivadas parciais em todos os pontos de . Suponha que existe tal que para todo . Mostre que
Determine as derivadas parciais da função:
A equação da onda descreve o movimento de uma onda, que pode ser do mar, de som, luminosa ou se movendo em uma corda vibrante. Por exemplo, se representa o deslocamento da corda vibrante de violino no instante t e à distância x de uma das extremidades da corda (como na Figura 8), então satisfaz a equação da onda. A constante a depende da densidade da corda e da tensão aplicada nela. Verifique que a função satisfaz a equação da onda.
Considere a função . Determine o plano tangente ao gráfico de no ponto .