Seja
uma função de classe
e assuma que a função derivada parcial
é de classe
. Use o teorema de Clairaut-Schwarz para concluir que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício fala sobre uma função
que é da classe
, ou seja, tem derivadas contínuas até a segunda ordem. Além disso, a derivada parcial
também é de classe
. A gente precisa usar o Teorema de Clairaut-Schwarz para mostrar que:
Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Clairaut-Schwarz e como aplicar as derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Clairaut-Schwarz. Esse teorema diz que, se uma função tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então as derivadas mistas são iguais. Ou seja:
Isso significa que, se as derivadas parciais de segunda ordem existem e são contínuas, a ordem de diferenciação não altera o resultado.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o que o exercício pede. Queremos mostrar uma igualdade envolvendo derivadas de ordem mais alta:
Vamos entender cada parte dessa expressão.
Passo 4
No lado esquerdo da igualdade, temos:
Isso significa que primeiro derivamos
em relação a
, e depois derivamos essa função duas vezes em relação a
.
No lado direito, temos:
Aqui, primeiro derivamos
duas vezes em relação a
, e depois derivamos o resultado em relação a
.
Passo 5
Para provar que esses dois lados são iguais, vamos usar o Teorema de Clairaut-Schwarz. Sabemos que
é de classe
e que
também é de classe
. Isso implica que todas as derivadas de segunda ordem de
são contínuas.
Passo 6
Vamos começar expandindo o lado esquerdo:
Aqui, usamos a definição de derivada de segunda ordem.
Passo 7
Agora, considerando o lado direito:
Também aqui, aplicamos a definição de derivada de segunda ordem.
Passo 8
Pelo Teorema de Clairaut-Schwarz, sabemos que:
Então, substituindo isso nas expressões que obtivemos:
E:
Passo 9
Observamos que ambas as expressões finais são iguais:
Isso conclui a prova usando o Teorema de Clairaut-Schwarz.
Resposta
Concluímos que:
Exercícios relacionados
Seja
uma função que admite as derivadas parciais em todos os pontos de
. Suponha que existe
tal que
para todo
. Mostre que
Determine as derivadas parciais da função:
A equação da onda
descreve o movimento de uma onda, que pode ser do mar, de som, luminosa ou se movendo em uma corda vibrante. Por exemplo, se
representa o deslocamento da corda vibrante de violino no instante t e à distância x de uma das extremidades da corda (como na Figura 8), então
satisfaz a equação da onda. A constante a depende da densidade da corda e da tensão aplicada nela. Verifique que a função
satisfaz a equação da onda.
Considere a função
. Determine o plano tangente ao gráfico de
no ponto
.