Seja f: R^2 R uma função de classe C^2 e assuma que a função derivada parcial partial fpartial x é de classe C^2. Use o teorema de Clairaut-Schwarz para concluir que
partial^2partial x^2(partial fpartial y)=partialpartial y(partial^2 fpartial x^2)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício fala sobre uma função partial^2partial x^2(partial fpartial y) = partialpartial y(partial^2 fpartial x^2) que é da classe , ou seja, tem derivadas contínuas até a segunda ordem. Além disso, a derivada parcial também é de classe . A gente precisa usar o Teorema de Clairaut-Schwarz para mostrar que:
Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Clairaut-Schwarz e como aplicar as derivadas parciais de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Clairaut-Schwarz. Esse teorema diz que, se uma função tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então as derivadas mistas são iguais. Ou seja:
partial^2 fpartial x partial y = partial^2 fpartial y partial x
Isso significa que, se as derivadas parciais de segunda ordem existem e são contínuas, a ordem de diferenciação não altera o resultado.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o que o exercício pede. Queremos mostrar uma igualdade envolvendo derivadas de ordem mais alta:
partial^2partial x^2(partial fpartial y) = partialpartial y(partial^2 fpartial x^2)
Vamos entender cada parte dessa expressão.

Passo 4

No lado esquerdo da igualdade, temos:
partial^2partial x^2(partial fpartial y)
Isso significa que primeiro derivamos partialpartial y(partial^2 fpartial x^2) em relação a , e depois derivamos essa função duas vezes em relação a .
No lado direito, temos:
Aqui, primeiro derivamos duas vezes em relação a , e depois derivamos o resultado em relação a .

Passo 5

Para provar que esses dois lados são iguais, vamos usar o Teorema de Clairaut-Schwarz. Sabemos que é de classe e que também é de classe . Isso implica que todas as derivadas de segunda ordem de são contínuas.

Passo 6

Vamos começar expandindo o lado esquerdo:
partial^2partial x^2(partial fpartial y) = partialpartial x(partialpartial x(partial fpartial y)) = partialpartial x(partial^2 fpartial x partial y)
Aqui, usamos a definição de derivada de segunda ordem.

Passo 7

Agora, considerando o lado direito:
partialpartial y(partial^2 fpartial x^2) = partialpartial y(partialpartial x(partial fpartial x)) = partialpartial x(partialpartial y(partial fpartial x))
Também aqui, aplicamos a definição de derivada de segunda ordem.

Passo 8

Pelo Teorema de Clairaut-Schwarz, sabemos que:
partial^2 fpartial x partial y = partial^2 fpartial y partial x
Então, substituindo isso nas expressões que obtivemos:
partialpartial x(partial^2 fpartial x partial y) = partialpartial x(partial^2 fpartial y partial x)
E:
partialpartial x(partialpartial y(partial fpartial x)) = partialpartial x(partial^2 fpartial y partial x)

Passo 9

Observamos que ambas as expressões finais são iguais:
partial^2partial x^2(partial fpartial y) = partialpartial y(partial^2 fpartial x^2)
Isso conclui a prova usando o Teorema de Clairaut-Schwarz.

Resposta

Concluímos que:
partial^2partial x^2(partial fpartial y) = partialpartial y(partial^2 fpartial x^2)

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