A equação da onda u_tt = a^2 u_xx descreve o movimento de uma onda, que pode ser do mar, de som, luminosa ou se movendo em uma corda vibrante. Por exemplo, se u(x, t) representa o deslocamento da corda vibrante de violino no instante t e à distância x de uma das extremidades da corda (como na Figura 8), então u(x, t) satisfaz a equação da onda. A constante a depende da densidade da corda e da tensão aplicada nela. Verifique que a função u(x, t) = sen(x - a t) satisfaz a equação da onda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função satisfaz a equação da onda . Então, estamos lidando com a equação da onda, que descreve como as ondas se propagam, tipo em uma corda vibrante. Para resolver isso, vamos calcular as derivadas segundas de em relação ao tempo e ao espaço , e ver se elas se relacionam conforme a equação da onda.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira de em relação ao tempo . Lembrando que a derivada de em relação a é vezes a derivada de .
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente em relação a para obter a segunda derivada:

Passo 4

Vamos fazer o mesmo processo, mas agora com relação ao espaço .
Primeiro, a primeira derivada de em relação a :
Agora, derivando novamente em relação a :

Passo 5

Agora, vamos substituir e na equação da onda :
Simplificando os dois lados:
Isso confirma que os dois lados são iguais.

Resposta

Então, ficou comprovado que satisfaz a equação da onda .

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