A equação da onda
descreve o movimento de uma onda, que pode ser do mar, de som, luminosa ou se movendo em uma corda vibrante. Por exemplo, se
representa o deslocamento da corda vibrante de violino no instante t e à distância x de uma das extremidades da corda (como na Figura 8), então
satisfaz a equação da onda. A constante a depende da densidade da corda e da tensão aplicada nela. Verifique que a função
satisfaz a equação da onda.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função
satisfaz a equação da onda
. Então, estamos lidando com a equação da onda, que descreve como as ondas se propagam, tipo em uma corda vibrante. Para resolver isso, vamos calcular as derivadas segundas de
em relação ao tempo
e ao espaço
, e ver se elas se relacionam conforme a equação da onda.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira de
em relação ao tempo
. Lembrando que a derivada de
em relação a
é
vezes a derivada de
.
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos derivar novamente
em relação a
para obter a segunda derivada:
Passo 4
Vamos fazer o mesmo processo, mas agora com relação ao espaço
.
Primeiro, a primeira derivada de
em relação a
:
Agora, derivando novamente
em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos substituir
e
na equação da onda
:
Simplificando os dois lados:
Isso confirma que os dois lados são iguais.
Resposta
Então, ficou comprovado que
satisfaz a equação da onda
.
Exercícios relacionados
Seja
uma função de classe
e assuma que a função derivada parcial
é de classe
. Use o teorema de Clairaut-Schwarz para concluir que
Seja
uma função que admite as derivadas parciais em todos os pontos de
. Suponha que existe
tal que
para todo
. Mostre que
Considere a função
. Determine o plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
Exemplo de função em que
: Considere a função
Prove que:
, para
.