Considere a função
Escreva a equação reduzida das curvas de nível da função
referentes aos níveis
e
e represente-as no mesmo plano cartesiano.
Escreva a equação reduzida das curvas de nível da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função
e precisamos encontrar as curvas de nível para os valores
e
. Curvas de nível são basicamente as linhas no plano onde a função mantém um valor constante. Para resolver isso, vamos igualar a função a cada um desses valores de
e resolver para
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a curva de nível para
. Isso significa que queremos descobrir para quais valores de
e
a função
é igual a -1. Então, temos:
Passo 3
Vamos resolver essa equação. Para facilitar, multiplicamos ambos os lados pelo denominador:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos isolar os termos
,
e
:
Passo 5
Observamos que
. Para simplificar ainda mais, completamos o quadrado para o termo em
:
Substituindo de volta:
Passo 6
Essa é a equação de um círculo com centro em
e raio
. Então, a curva de nível para
é um círculo:
Passo 7
Agora, vamos repetir o processo para
:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador:
Simplificando:
Passo 8
Isolando os termos:
Dividindo todos os termos por 2:
Passo 9
Completando o quadrado para
:
Substituindo de volta:
Passo 10
Essa é a equação de um círculo com centro em
e raio
. Portanto, a curva de nível para
é:
Resposta
As equações reduzidas das curvas de nível são:
Para
:
Para
:
No plano cartesiano, essas curvas são dois círculos concêntricos com centro em
, sendo o primeiro de raio 1 e o segundo de raio
.
Exercícios relacionados
Determine os intervalos nos quais
é crescente e nos quais é decrescente.
Encontre a solução geral das seguintes equações:
Resolva as equações diferenciais abaixo:
Esboce o gráfico da seguinte função
.