Considere a função
Escreva a equação reduzida das curvas de nível da função referentes aos níveis e e represente-as no mesmo plano cartesiano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função e precisamos encontrar as curvas de nível para os valores e . Curvas de nível são basicamente as linhas no plano onde a função mantém um valor constante. Para resolver isso, vamos igualar a função a cada um desses valores de e resolver para e .

Passo 2

Primeiro, vamos achar a curva de nível para . Isso significa que queremos descobrir para quais valores de e a função é igual a -1. Então, temos:

Passo 3

Vamos resolver essa equação. Para facilitar, multiplicamos ambos os lados pelo denominador:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos isolar os termos , e :

Passo 5

Observamos que . Para simplificar ainda mais, completamos o quadrado para o termo em :
Substituindo de volta:

Passo 6

Essa é a equação de um círculo com centro em e raio . Então, a curva de nível para é um círculo:

Passo 7

Agora, vamos repetir o processo para :
Multiplicando ambos os lados pelo denominador:
Simplificando:

Passo 8

Isolando os termos:
Dividindo todos os termos por 2:

Passo 9

Completando o quadrado para :
Substituindo de volta:

Passo 10

Essa é a equação de um círculo com centro em e raio . Portanto, a curva de nível para é:

Resposta

As equações reduzidas das curvas de nível são:
Para :
Para :
No plano cartesiano, essas curvas são dois círculos concêntricos com centro em , sendo o primeiro de raio 1 e o segundo de raio .

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Encontre a solução geral das seguintes equações:
Resolva as equações diferenciais abaixo:
Esboce o gráfico da seguinte função .