Encontre a solução geral das seguintes equações:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial e uma condição inicial. Estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem do tipo:
O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação que satisfaça a condição inicial . Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação numa forma mais padrão para aplicar o método do fator integrante. A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é:
Comparando com a nossa equação:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora �� a derivada do produto . Então podemos escrever:

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, resolvemos para :

Passo 8

Usando a condição inicial , substituímos e na solução:
Isso simplifica para:

Resposta

Substituindo na solução geral, temos a solução específica:

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Escreva a equação reduzida das curvas de nível da função referentes aos níveis e e represente-as no mesmo plano cartesiano.