Encontre a solução geral das seguintes equações:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial e uma condição inicial. Estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem do tipo:
O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação que satisfaça a condição inicial
. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação numa forma mais padrão para aplicar o método do fator integrante. A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é:
Comparando com a nossa equação:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora �� a derivada do produto
. Então podemos escrever:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Passo 8
Usando a condição inicial
, substituímos
e
na solução:
Isso simplifica para:
Resposta
Substituindo
na solução geral, temos a solução específica:
Exercícios relacionados
Considere a função
. Escreva a equação reduzida das curvas de nível da função
referentes aos níveis
e
e represente-as no mesmo plano cartesiano.
Encontre a solução geral das seguintes equações:
Determine os intervalos nos quais
é crescente e nos quais é decrescente.
Considere a função
Escreva a equação reduzida das curvas de nível da função referentes aos níveis
e
e represente-as no mesmo plano cartesiano.
Escreva a equação reduzida das curvas de nível da função