Determine os intervalos nos quais
é crescente e nos quais é decrescente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir em quais intervalos a função
está crescente ou decrescente. Isso envolve o estudo de derivadas, que é uma ferramenta da matemática usada para entender como as funções mudam. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela é positiva (função crescente) ou negativa (função decrescente).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos uma função
, sua derivada é
.
Aqui,
e
. Vamos derivar cada parte:
- Derivada de
, - Derivada de
,
Aplicando a regra do quociente:
Passo 3
Agora que temos a derivada
, precisamos analisar onde essa derivada é positiva ou negativa.
Lembre-se que o denominador
é sempre positivo para
(já que estamos falando de logaritmos,
deve ser positivo). Então, o sinal da derivada depende apenas do numerador
.
Vamos resolver a inequação
e
:
-
implica → -
implica →
Passo 4
Então, resumindo:
- Quando
, , ou seja, a função está crescente. - Quando
, , ou seja, a função está decrescente.
Resposta
A função
é crescente no intervalo
e decrescente no intervalo
.