Determine os intervalos nos quais f(x) = log(x) / x é crescente e nos quais é decrescente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir em quais intervalos a função está crescente ou decrescente. Isso envolve o estudo de derivadas, que é uma ferramenta da matemática usada para entender como as funções mudam. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela é positiva (função crescente) ou negativa (função decrescente).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos uma função , sua derivada é .
Aqui, e . Vamos derivar cada parte:
  • Derivada de ,
  • Derivada de ,
Aplicando a regra do quociente:

Passo 3

Agora que temos a derivada , precisamos analisar onde essa derivada é positiva ou negativa.
Lembre-se que o denominador é sempre positivo para (já que estamos falando de logaritmos, deve ser positivo). Então, o sinal da derivada depende apenas do numerador .
Vamos resolver a inequação e :
  • implica
  • implica

Passo 4

Então, resumindo:
  • Quando , , ou seja, a função está crescente.
  • Quando , , ou seja, a função está decrescente.

Resposta

A função é crescente no intervalo e decrescente no intervalo .

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