Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo das funções abaixo:
sujeito a:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. A gente tem uma função
e precisa encontrar os valores máximo e mínimo dessa função, mas com a condição de que
. Para resolver isso, vamos usar os multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica matemática pra otimizar funções com restrições.
Passo 2
Primeiro, a gente monta o Lagrangeano. Ele é uma combinação da função que queremos otimizar e da restrição, multiplicada por um multiplicador (que geralmente chamamos de
). Então, nosso Lagrangeano fica assim:
Substituindo
:
Passo 3
Agora, a gente vai derivar o Lagrangeano em relação a cada variável (
,
, e
) e igualar as derivadas a zero. Isso porque, nos pontos de máximo e mínimo, as derivadas parciais devem ser iguais a zero.
Primeiro, derivando em relação a
:
Derivando em relação a
:
E derivando em relação a
:
Passo 4
Agora temos um sistema de três equações:
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, podemos eliminar
subtraindo a primeira equação da segunda:
Agora, substituímos
na terceira equação
:
Substituindo
em
:
Passo 5
Agora que temos
e
, vamos verificar se é máximo ou mínimo substituindo esses valores na função original:
Como o coeficiente de
na função é positivo (
), a função tem um mínimo nesse ponto.
Resposta
O valor mínimo da função
sujeito à restrição
é 28, atingido quando
e
.