Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo das funções abaixo:
f(x, y) = x^2 + 2y^2 - xy sujeito a: x + y = 8

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. A gente tem uma função e precisa encontrar os valores máximo e mínimo dessa função, mas com a condição de que . Para resolver isso, vamos usar os multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica matemática pra otimizar funções com restrições.

Passo 2

Primeiro, a gente monta o Lagrangeano. Ele é uma combinação da função que queremos otimizar e da restrição, multiplicada por um multiplicador (que geralmente chamamos de ). Então, nosso Lagrangeano fica assim:
Substituindo :

Passo 3

Agora, a gente vai derivar o Lagrangeano em relação a cada variável ( , , e ) e igualar as derivadas a zero. Isso porque, nos pontos de máximo e mínimo, as derivadas parciais devem ser iguais a zero.
Primeiro, derivando em relação a :
Derivando em relação a :
E derivando em relação a :

Passo 4

Agora temos um sistema de três equações:
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, podemos eliminar subtraindo a primeira equação da segunda:
Agora, substituímos na terceira equação :
Substituindo em :

Passo 5

Agora que temos e , vamos verificar se é máximo ou mínimo substituindo esses valores na função original:
Como o coeficiente de na função é positivo ( ), a função tem um mínimo nesse ponto.

Resposta

O valor mínimo da função sujeito à restrição é 28, atingido quando e .

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