Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo das funções abaixo:
f(x, y) = -x^2 - 3y^2 + 12xy sujeito a: x + y = 16

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar os valores máximo e mínimo da função sob a condição . Para isso, vamos usar os Multiplicadores de Lagrange, que são uma ferramenta poderosa em cálculo para otimização com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são Multiplicadores de Lagrange. Eles nos ajudam a encontrar os pontos máximos ou mínimos de uma função sujeita a uma restrição . No nosso caso, a restrição é .

Passo 3

Vamos montar a função de Lagrange, que é dada por:
Substituindo nossa função e restrição:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a , e , e igualá-las a zero. Isso nos dará um sistema de equações para resolver.

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, subtraímos a equação (1) da equação (2):
Simplificando:

Passo 6

Agora, usamos a equação (3), que é a nossa restrição:
Substituindo :
Então, substituindo na expressão de :

Passo 7

Encontramos o ponto crítico . Agora, vamos calcular o valor da função nesse ponto:

Resposta

O valor máximo da função sujeito à restrição é 528, atingido no ponto .

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