Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo das funções abaixo:
sujeito a:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar os valores máximo e mínimo da função
sob a condição
. Para isso, vamos usar os Multiplicadores de Lagrange, que são uma ferramenta poderosa em cálculo para otimização com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são Multiplicadores de Lagrange. Eles nos ajudam a encontrar os pontos máximos ou mínimos de uma função
sujeita a uma restrição
. No nosso caso, a restrição é
.
Passo 3
Vamos montar a função de Lagrange, que é dada por:
Substituindo nossa função e restrição:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
, e igualá-las a zero. Isso nos dará um sistema de equações para resolver.
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, subtraímos a equação (1) da equação (2):
Simplificando:
Passo 6
Agora, usamos a equação (3), que é a nossa restrição:
Substituindo
:
Então, substituindo
na expressão de
:
Passo 7
Encontramos o ponto crítico
. Agora, vamos calcular o valor da função nesse ponto:
Resposta
O valor máximo da função
sujeito à restrição
é 528, atingido no ponto
.