Considere a função
.
Suponha que a função
descreve a topologia de uma montanha. Se uma pessoa está no ponto
e deseja descer o mais rápido possível, determine um vetor de
que indica a direção inicial que a pessoa deve tomar. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A função que descreve a topologia da montanha é
. A questão nos pede para encontrar um vetor em
que mostre a direção inicial que uma pessoa deve tomar para descer a montanha o mais rápido possível, partindo do ponto
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente da função, que nos dá a direção de subida mais íngreme. Como queremos descer, vamos usar a direção oposta ao gradiente.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a
e
. Matemáticamente, é representado por:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Com as derivadas parciais, o gradiente da função é:
Agora, substituímos o ponto dado
nas derivadas parciais:
Simplificando:
Passo 5
Como queremos a direção de descida mais rápida, usamos o negativo do gradiente:
Finalmente, para obter um vetor de direção, podemos normalizar esse vetor:
Resposta
A pessoa deve seguir na direção do vetor
para descer a montanha o mais rápido possível.