Considere a função .
Suponha que a função descreve a topologia de uma montanha. Se uma pessoa está no ponto e deseja descer o mais rápido possível, determine um vetor de que indica a direção inicial que a pessoa deve tomar. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A função que descreve a topologia da montanha é . A questão nos pede para encontrar um vetor em que mostre a direção inicial que uma pessoa deve tomar para descer a montanha o mais rápido possível, partindo do ponto . Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente da função, que nos dá a direção de subida mais íngreme. Como queremos descer, vamos usar a direção oposta ao gradiente.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a e . Matemáticamente, é representado por:
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Com as derivadas parciais, o gradiente da função é:
Agora, substituímos o ponto dado nas derivadas parciais:
Simplificando:

Passo 5

Como queremos a direção de descida mais rápida, usamos o negativo do gradiente:
Finalmente, para obter um vetor de direção, podemos normalizar esse vetor:
çã

Resposta

A pessoa deve seguir na direção do vetor para descer a montanha o mais rápido possível.

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