Suponha uma função diferenciável. Sejam e . Sabendo-se que e , determine a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo multivariável onde precisamos encontrar a equação do plano tangente ao gráfico de uma função diferenciável no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e gradientes, que são fundamentais para entender como a função se comporta perto desse ponto.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que são as derivadas parciais na direção de vetores. Temos os vetores:
Esses vetores representam direções específicas no plano .

Passo 3

Sabemos que as derivadas parciais nas direções e no ponto são:
Esses valores nos ajudam a encontrar as derivadas parciais padrão e , que são necessárias para calcular o gradiente da função.

Passo 4

Vamos expressar as derivadas nas direções e em termos das derivadas parciais e . A derivada direcional na direção de um vetor é dada por:
Aplicando isso aos vetores e , temos:

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( e ):
Podemos simplificar dividindo ambas as equações por :

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo na primeira equação:

Passo 7

Com e , podemos escrever o gradiente da função no ponto :
O gradiente nos dá a direção de máxima inclinação da função e é essencial para determinar o plano tangente.

Passo 8

A equação do plano tangente a uma superfície no ponto é dada por:
Substituindo os valores que temos:

Passo 9

Vamos simplificar a equação:

Resposta

A equação do plano tangente ao gráfico de no ponto é:

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