Suponha
uma função diferenciável. Sejam
e
. Sabendo-se que
e
, determine a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo multivariável onde precisamos encontrar a equação do plano tangente ao gráfico de uma função diferenciável
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e gradientes, que são fundamentais para entender como a função se comporta perto desse ponto.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que são as derivadas parciais na direção de vetores. Temos os vetores:
Esses vetores representam direções específicas no plano
.
Passo 3
Sabemos que as derivadas parciais nas direções
e
no ponto
são:
Esses valores nos ajudam a encontrar as derivadas parciais padrão
e
, que são necessárias para calcular o gradiente da função.
Passo 4
Vamos expressar as derivadas nas direções
e
em termos das derivadas parciais
e
. A derivada direcional na direção de um vetor
é dada por:
Aplicando isso aos vetores
e
, temos:
Passo 5
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas (
e
):
Podemos simplificar dividindo ambas as equações por
:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações. Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 7
Com
e
, podemos escrever o gradiente da função
no ponto
:
O gradiente nos dá a direção de máxima inclinação da função e é essencial para determinar o plano tangente.
Passo 8
A equação do plano tangente a uma superfície
no ponto
é dada por:
Substituindo os valores que temos:
Passo 9
Vamos simplificar a equação:
Resposta
A equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
é:
Exercícios relacionados
O potencial elétrico em uma região do espaço é dado por
, sendo
em volts,
,
cm.
Determine a derivada direcional de
na direção do vetor
no ponto
.
Considere a função
.
Suponha que a função
descreve a topologia de uma montanha. Se uma pessoa está no ponto
e deseja descer o mais rápido possível, determine um vetor de
que indica a direção inicial que a pessoa deve tomar. Justifique sua resposta.