Suponha f: R^2 R uma função diferenciável. Sejam u=cos pi4 i+sen pi4 j e v=cos 3 pi4 i+sen 3 pi4 j. Sabendo-se que partial fpartial u(1,2)=5 raiz2 e partial fpartial v(1,2)=-3 raiz2, determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (1,2,3).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo multivariável onde precisamos encontrar a equação do plano tangente ao gráfico de uma função diferenciável no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e gradientes, que são fundamentais para entender como a função se comporta perto desse ponto.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que são as derivadas parciais na direção de vetores. Temos os vetores:
u = cos pi4 , i + sin pi4 , j
v = cos 3pi4 , i + sin 3pi4 , j
Esses vetores representam direções específicas no plano .

Passo 3

Sabemos que as derivadas parciais nas direções partial fpartial u(1,2) = 5raiz2 e partial fpartial v(1,2) = -3raiz2 no ponto são:
Esses valores nos ajudam a encontrar as derivadas parciais padrão e , que são necessárias para calcular o gradiente da função.

Passo 4

Vamos expressar as derivadas nas direções partial fpartial w = a fx + b fy e partial fpartial u = cos pi4 fx + sin pi4 fy = raiz22 fx + raiz22 fy = 5raiz2 em termos das derivadas parciais partial fpartial v = cos 3pi4 fx + sin 3pi4 fy = -raiz22 fx + raiz22 fy = -3raiz2 e . A derivada direcional na direção de um vetor é dada por:
Aplicando isso aos vetores e , temos:

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( raiz22 fx + raiz22 fy = 5raiz2 e -raiz22 fx + raiz22 fy = -3raiz2 ):
fx + fy = 10
- fx + fy = -6
Podemos simplificar dividindo ambas as equações por :

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Subtraindo a segunda equação da primeira:
fx + fy - (-fx + fy) = 10 - (-6)
2fx = 16 implies fx = 8
Substituindo 8 + fy = 10 implies fy = 2 na primeira equação:

Passo 7

Com nabla f(1,2) = ( fx, fy ) = (8, 2) e , podemos escrever o gradiente da função no ponto :
O gradiente nos dá a direção de máxima inclinação da função e é essencial para determinar o plano tangente.

Passo 8

A equação do plano tangente a uma superfície z - z0 = fx (x - x0) + fy (y - y0) no ponto z - 3 = 8 (x - 1) + 2 (y - 2) é dada por:
Substituindo os valores que temos:

Passo 9

Vamos simplificar a equação:
z - 3 = 8x - 8 + 2y - 4
z = 8x + 2y - 9

Resposta

A equação do plano tangente ao gráfico de z = 8x + 2y - 9 no ponto é:

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