Determine a derivada direcional da função dada no ponto
e na direção de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que envolve calcular o gradiente da função e fazer um produto com o vetor de direção.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a
e
. Então, precisamos calcular
e
.
Passo 3
Vamos calcular
, a derivada parcial de
em relação a
:
No ponto
:
Passo 4
Agora, vamos calcular
, a derivada parcial de
em relação a
:
No ponto
:
Passo 5
Então, o gradiente de
no ponto
é:
Passo 6
Agora, precisamos normalizar o vetor de direção
para transformá-lo em um vetor unitário. A fórmula para isso é dividir cada componente pelo comprimento do vetor:
Então, o vetor unitário é:
Passo 7
Finalmente, a derivada direcional
é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Resposta
A derivada direcional é
.
Exercícios relacionados
Seja
, onde
é uma função diferenciável. Expresse
em termos das derivadas parciais de
.
Determine o valor máximo da derivada direcional de
no ponto
e a direção em que ocorre
Considere a função
.
Suponha que a função
descreve a topologia de uma montanha. Se uma pessoa está no ponto
e deseja descer o mais rápido possível, determine um vetor de
que indica a direção inicial que a pessoa deve tomar. Justifique sua resposta.