Determine a derivada direcional da função dada no ponto e na direção de

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que envolve calcular o gradiente da função e fazer um produto com o vetor de direção.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a e . Então, precisamos calcular e .

Passo 3

Vamos calcular , a derivada parcial de em relação a :
No ponto :

Passo 4

Agora, vamos calcular , a derivada parcial de em relação a :
No ponto :

Passo 5

Então, o gradiente de no ponto é:

Passo 6

Agora, precisamos normalizar o vetor de direção para transformá-lo em um vetor unitário. A fórmula para isso é dividir cada componente pelo comprimento do vetor:
Então, o vetor unitário é:

Passo 7

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:

Resposta

A derivada direcional é .

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