Determine o valor máximo da derivada direcional de no ponto e a direção em que ocorre

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer encontrar o valor máximo da derivada direcional da função no ponto e também a direção em que esse máximo acontece. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, como gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto dado uma direção é calculada pelo produto escalar do gradiente da função nesse ponto com o vetor direção. Matematicamente, isso é:
Aqui, é o gradiente de e é um vetor unitário na direção considerada.

Passo 3

Para encontrar o valor máximo da derivada direcional, a gente sabe que isso acontece na direção do gradiente. Além disso, o valor máximo é igual ao módulo do gradiente. Então, nossa estratégia será:
  1. Calcular o gradiente de no ponto .
  2. Encontrar o módulo desse gradiente para obter o valor máximo.
  3. Determinar a direção do gradiente para saber em qual direção ocorre esse máximo.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a para formar o gradiente.
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Como é tratado como constante em relação a , derivamos apenas a parte da arctangente:
Agora, a derivada parcial em relação a :
Aqui, usamos a regra do produto:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto .
Primeiro, calculando :
Agora, calculando :
Primeiro, a parte envolvendo a arctangente:
E a segunda parte:
Somando as duas partes:

Passo 6

Com isso, o gradiente de no ponto é:
Para encontrar o valor máximo da derivada direcional, calculamos o módulo desse gradiente:

Passo 7

Finalmente, a direção em que ocorre esse valor máximo é a direção do próprio gradiente, ou seja, na direção de .

Resposta

O valor máximo da derivada direcional de no ponto é , e esse máximo ocorre na direção do vetor gradiente .

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