Determine o valor máximo da derivada direcional de
no ponto
e a direção em que ocorre
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer encontrar o valor máximo da derivada direcional da função
no ponto
e também a direção em que esse máximo acontece. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, como gradiente e derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto dado uma direção é calculada pelo produto escalar do gradiente da função nesse ponto com o vetor direção. Matematicamente, isso é:
Aqui,
é o gradiente de
e
é um vetor unitário na direção considerada.
Passo 3
Para encontrar o valor máximo da derivada direcional, a gente sabe que isso acontece na direção do gradiente. Além disso, o valor máximo é igual ao módulo do gradiente. Então, nossa estratégia será:
- Calcular o gradiente de
no ponto . - Encontrar o módulo desse gradiente para obter o valor máximo.
- Determinar a direção do gradiente para saber em qual direção ocorre esse máximo.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
para formar o gradiente.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Como
é tratado como constante em relação a
, derivamos apenas a parte da arctangente:
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Aqui, usamos a regra do produto:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
.
Primeiro, calculando
:
Agora, calculando
:
Primeiro, a parte envolvendo a arctangente:
E a segunda parte:
Somando as duas partes:
Passo 6
Com isso, o gradiente de
no ponto
é:
Para encontrar o valor máximo da derivada direcional, calculamos o módulo desse gradiente:
Passo 7
Finalmente, a direção em que ocorre esse valor máximo é a direção do próprio gradiente, ou seja, na direção de
.
Resposta
O valor máximo da derivada direcional de
no ponto
é
, e esse máximo ocorre na direção do vetor gradiente
.
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Determine a derivada direcional da função dada no ponto
e na direção de
Considere a função
.
Suponha que a função
descreve a topologia de uma montanha. Se uma pessoa está no ponto
e deseja descer o mais rápido possível, determine um vetor de
que indica a direção inicial que a pessoa deve tomar. Justifique sua resposta.
O potencial elétrico em uma região do espaço é dado por
, sendo
em volts,
,
cm.
Determine a derivada direcional de
na direção do vetor
no ponto
.