O potencial elétrico em uma região do espaço é dado por
, sendo
em volts,
,
cm.
Determine a derivada direcional de
na direção do vetor
no ponto
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício sobre potencial elétrico, que é uma função que descreve como a energia elétrica varia no espaço. A função dada é
, onde
está em volts e as coordenadas
estão em centímetros. Queremos calcular a derivada direcional dessa função na direção do vetor
no ponto
. Para isso, vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente o conceito de derivada direcional, que nos mostra como a função V muda em uma direção específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função
na direção de um vetor
é dada por:
Aqui,
é o gradiente de
, que é um vetor que aponta na direção de maior aumento de
, e
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente
. O gradiente é formado pelas derivadas parciais de
em relação a
,
e
:
Primeiro, vamos simplificar
:
Passo 4
Agora, calculamos as derivadas parciais:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
Então, o gradiente fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto
:
Calculando o denominador:
Então:
Passo 6
Agora, precisamos obter o vetor unitário
na direção de
. Para isso, calculamos o comprimento de
:
Então:
Passo 7
Finalmente, calculamos a derivada direcional usando o produto escalar entre
e
:
Resposta
A derivada direcional de
na direção do vetor
no ponto
é
volts por centímetro.