O potencial elétrico em uma região do espaço é dado por V(x, y, z) = ln(raiz(x^2 - y^2 + z^2)), sendo V em volts, x, y, z em cm.
a) 1/(b + sen(c)) Determine a derivada direcional de V na direção do vetor v = 3i + 4j + 12k no ponto A = (0, 5, 12).

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre potencial elétrico, que é uma função que descreve como a energia elétrica varia no espaço. A função dada é , onde está em volts e as coordenadas estão em centímetros. Queremos calcular a derivada direcional dessa função na direção do vetor no ponto . Para isso, vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente o conceito de derivada direcional, que nos mostra como a função V muda em uma direção específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função na direção de um vetor é dada por:
Aqui, é o gradiente de , que é um vetor que aponta na direção de maior aumento de , e é o vetor unitário na direção de .

Passo 3

Vamos calcular o gradiente . O gradiente é formado pelas derivadas parciais de em relação a , e :
Primeiro, vamos simplificar :

Passo 4

Agora, calculamos as derivadas parciais:
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
Então, o gradiente fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto :
Calculando o denominador:
Então:

Passo 6

Agora, precisamos obter o vetor unitário na direção de . Para isso, calculamos o comprimento de :
Então:

Passo 7

Finalmente, calculamos a derivada direcional usando o produto escalar entre e :

Resposta

A derivada direcional de na direção do vetor no ponto é volts por centímetro.

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