Considere a função
.
Determine em quais pontos do domínio a função
é diferenciável.
Determine em quais pontos do domínio a função
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que nos pede para analisar a função
. O objetivo é descobrir em quais pontos do domínio essa função é diferenciável. Vamos precisar entender sobre derivadas parciais e as condições de diferenciabilidade de uma função de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o domínio da função
. A função arctangente,
, está definida para todo número real
. Nesse caso,
, que também pode ser qualquer número real, já que
e
podem ser qualquer número real. Portanto, o domínio de
é todo o plano
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre diferenciabilidade. Uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se ela tiver derivadas parciais contínuas nesse ponto. Então, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 4
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Ambas as derivadas parciais existem para todo
em
e são contínuas nesse domínio.
Passo 5
Como as derivadas parciais
e
existem e são contínuas em todo o domínio de
, concluímos que a função
é diferenciável em todos os pontos do seu domínio.
Resposta
A função
é diferenciável para todos os pontos
pertencentes a
.
Exercícios relacionados
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto
. Justifique.
.
Determine a inclinação da reta tangente à curva gerada pela interseção do gráfico da função:
com o plano
, no ponto
.
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto
. Justifique.
.
Considere a função
.
Determine o domínio de .
Determine o domínio de