Considere a função f(x, y) = arctg(x^2 - y^2).
Determine em quais pontos do domínio a função f é diferenciável.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que nos pede para analisar a função . O objetivo é descobrir em quais pontos do domínio essa função é diferenciável. Vamos precisar entender sobre derivadas parciais e as condições de diferenciabilidade de uma função de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o domínio da função . A função arctangente, , está definida para todo número real . Nesse caso, , que também pode ser qualquer número real, já que e podem ser qualquer número real. Portanto, o domínio de é todo o plano .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre diferenciabilidade. Uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se ela tiver derivadas parciais contínuas nesse ponto. Então, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 4

Calculando a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial em relação a :
Ambas as derivadas parciais existem para todo em e são contínuas nesse domínio.

Passo 5

Como as derivadas parciais e existem e são contínuas em todo o domínio de , concluímos que a função é diferenciável em todos os pontos do seu domínio.

Resposta

A função é diferenciável para todos os pontos pertencentes a .

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Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto P. Justifique.
f(x, y) = e^x cos(x y), P = (0, 0).
Determine a inclinação da reta tangente à curva gerada pela interseção do gráfico da função: f(x, y) = x^2 / y^5 com o plano x = 4, no ponto (4, 2, 1/2).
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto P. Justifique.
f(x, y) = raiz(x^2 + y^2), P = (0, 0).
Considere a função f(x, y) = arctg(x^2 - y^2).
Determine o domínio de f.