Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto
. Justifique.
.
Passo 1
Aqui, o enunciado pede para verificarmos se a função
é diferenciável no ponto
. Vamos utilizar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade e continuidade de funções. Precisaremos analisar os limites e derivadas parciais da função no ponto dado.
Passo 2
Primeiramente, para verificar a diferenciabilidade em
, precisamos verificar se as derivadas parciais de
existem e são contínuas nesse ponto.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais de
:
Passo 4
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto
:
Aqui, as derivadas parciais não estão definidas no ponto
, o que já indica que a função pode não ser diferenciável nesse ponto.
Passo 5
Além disso, para que
seja diferenciável em
, é necessário que o limite
exista e seja igual a zero. Mas como as derivadas parciais não estão definidas em
, esse limite não pode ser zero, implicando que
não é diferenciável nesse ponto.
Resposta
A função
não é diferenciável no ponto
, pois as derivadas parciais não estão definidas nesse ponto e o limite necessário para a diferenciabilidade não existe.