Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto P. Justifique.
f(x, y) = raiz(x^2 + y^2), P = (0, 0).

Passo 1

Aqui, o enunciado pede para verificarmos se a função é diferenciável no ponto . Vamos utilizar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade e continuidade de funções. Precisaremos analisar os limites e derivadas parciais da função no ponto dado.

Passo 2

Primeiramente, para verificar a diferenciabilidade em , precisamos verificar se as derivadas parciais de existem e são contínuas nesse ponto.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais de :

Passo 4

Agora, avaliamos essas derivadas no ponto :
Aqui, as derivadas parciais não estão definidas no ponto , o que já indica que a função pode não ser diferenciável nesse ponto.

Passo 5

Além disso, para que seja diferenciável em , é necessário que o limite
exista e seja igual a zero. Mas como as derivadas parciais não estão definidas em , esse limite não pode ser zero, implicando que não é diferenciável nesse ponto.

Resposta

A função não é diferenciável no ponto , pois as derivadas parciais não estão definidas nesse ponto e o limite necessário para a diferenciabilidade não existe.

Exercícios relacionados

Considere a função f(x, y) = arctg(x^2 - y^2).
Determine em quais pontos do domínio a função f é diferenciável.
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto P. Justifique.
f(x, y) = e^x cos(x y), P = (0, 0).
Considere a função f(x, y) = arctg(x^2 - y^2).
Determine o domínio de f.
Função diferenciável que não é de classe C^1 : Considere a função
f(x, y)=l (x^2+y^2) sen(1raizx^2+y^2), se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)
Mostre que:
f é diferenciável em (0,0).