Função diferenciável que não é de classe
: Considere a função
Mostre que:
as derivadas parciais
não são contínuas em
.
as derivadas parciais
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema nos dá uma função diferenciável de duas variáveis,
, definida de forma diferente para o ponto
e para todos os outros pontos. Nossa missão é mostrar que as derivadas parciais de
em relação a
e a
, ou seja,
e
, não são contínuas no ponto
. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e analisar a continuidade delas nesse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como calcular uma derivada parcial. A derivada parcial de
em relação a
no ponto
é definida por:
E de maneira similar para
.
Passo 3
Vamos calcular
. Substituindo os valores na definição:
Passo 4
Sabemos que o seno de qualquer número está entre -1 e 1, ou seja, . Portanto:
Como
tende a 0, tanto
quanto
também tendem a 0. Pelo Teorema do Sandwich, temos que:
Portanto,
.
Passo 5
De maneira análoga, vamos calcular
:
Seguindo o mesmo raciocínio do passo anterior, temos que esse limite também é 0. Assim,
.
Passo 6
Agora que sabemos que ambas as derivadas parciais em
são iguais a 0, precisamos verificar se elas são contínuas nesse ponto. Para isso, vamos analisar o limite das derivadas parciais quando
se aproxima de
.
Passo 7
Vamos considerar a derivada parcial em relação a
para
:
Analisando o comportamento desse limite quando
se aproxima de
, percebemos que o termo
oscila entre -1 e 1 de forma cada vez mais rápida à medida que
se aproxima de
. Isso faz com que o limite não exista, ou seja, a derivada parcial não se aproxima de um único valor.
Passo 8
O mesmo raciocínio vale para a derivada parcial em relação a
. A presença do termo
faz com que a derivada parcial oscile sem se estabilizar conforme nos aproximamos de
, impedindo a continuidade.
Resposta
Portanto, as derivadas parciais
e
não são contínuas em
.
Exercícios relacionados
Considere a função
.
Encontre todos o pontos do domínio de
para os quais o plano tangente ao gráfico de
no ponto
é paralelo ao plano
.
Encontre todos o pontos
Decida se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa e justique sua resposta: existe uma função
tal que
Dica: use o teorema de Clairaut-Schwarz
(2 pontos) Considere a função
definida implicitamente por
. Calcule
quando
.
a) -5
b) -3
c) -1
d) 1
e) 3 .
a) -5
b) -3
c) -1
d) 1
e) 3 .
(2 pontos) Seja
. Calcule a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor unitário
.
a)
b)
c) 0
d)
e) .
a)
b)
c) 0
d)
e)