Função diferenciável que não é de classe C^1 : Considere a função
f(x, y)=l (x^2+y^2) sen(1raizx^2+y^2), se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)
Mostre que:
as derivadas parciais partial fpartial x, partial fpartial y não são contínuas em (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema nos dá uma função diferenciável de duas variáveis, , definida de forma diferente para o ponto e para todos os outros pontos. Nossa missão é mostrar que as derivadas parciais de em relação a e a , ou seja, e , não são contínuas no ponto . Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e analisar a continuidade delas nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como calcular uma derivada parcial. A derivada parcial de partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h em relação a no ponto é definida por:
E de maneira similar para .

Passo 3

Vamos calcular partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - 0h = limh to 0 h^2 cdot sen(1|h|)h = limh to 0 h cdot sen(1|h|) . Substituindo os valores na definição:

Passo 4

Sabemos que o seno de qualquer número está entre -1 e 1, ou seja, . Portanto:
Como - |h| <= h cdot sen(1|h|) <= |h| tende a 0, tanto limh to 0 h cdot sen(1|h|) = 0 quanto também tendem a 0. Pelo Teorema do Sandwich, temos que:
Portanto, .

Passo 5

De maneira análoga, vamos calcular partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0, k) - 0k = limk to 0 k^2 cdot sen(1|k|)k = limk to 0 k cdot sen(1|k|) :
Seguindo o mesmo raciocínio do passo anterior, temos que esse limite também é 0. Assim, .

Passo 6

Agora que sabemos que ambas as derivadas parciais em são iguais a 0, precisamos verificar se elas são contínuas nesse ponto. Para isso, vamos analisar o limite das derivadas parciais quando se aproxima de .

Passo 7

Vamos considerar a derivada parcial em relação a partial fpartial x(x, y) = 2x cdot sen(1raizx^2 + y^2) - xraizx^2 + y^2 cdot cos(1raizx^2 + y^2) para :
Analisando o comportamento desse limite quando se aproxima de , percebemos que o termo oscila entre -1 e 1 de forma cada vez mais rápida à medida que se aproxima de . Isso faz com que o limite não exista, ou seja, a derivada parcial não se aproxima de um único valor.

Passo 8

O mesmo raciocínio vale para a derivada parcial em relação a . A presença do termo faz com que a derivada parcial oscile sem se estabilizar conforme nos aproximamos de , impedindo a continuidade.

Resposta

Portanto, as derivadas parciais e não são contínuas em .

Exercícios relacionados