Função diferenciável que não é de classe C^1 : Considere a função
f(x, y)=l (x^2+y^2) sen(1raizx^2+y^2), se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)
Mostre que:
as derivadas parciais partial fpartial x, partial fpartial y não são contínuas em (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema nos dá uma função diferenciável de duas variáveis, , definida de forma diferente para o ponto e para todos os outros pontos. Nossa missão é mostrar que as derivadas parciais de em relação a e a , ou seja, e , não são contínuas no ponto . Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e analisar a continuidade delas nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como calcular uma derivada parcial. A derivada parcial de partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h em relação a no ponto é definida por:
E de maneira similar para .

Passo 3

Vamos calcular partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - 0h = limh to 0 h^2 cdot sen(1|h|)h = limh to 0 h cdot sen(1|h|) . Substituindo os valores na definição:

Passo 4

Sabemos que o seno de qualquer número está entre -1 e 1, ou seja, . Portanto:
Como - |h| <= h cdot sen(1|h|) <= |h| tende a 0, tanto limh to 0 h cdot sen(1|h|) = 0 quanto também tendem a 0. Pelo Teorema do Sandwich, temos que:
Portanto, .

Passo 5

De maneira análoga, vamos calcular partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0, k) - 0k = limk to 0 k^2 cdot sen(1|k|)k = limk to 0 k cdot sen(1|k|) :
Seguindo o mesmo raciocínio do passo anterior, temos que esse limite também é 0. Assim, .

Passo 6

Agora que sabemos que ambas as derivadas parciais em são iguais a 0, precisamos verificar se elas são contínuas nesse ponto. Para isso, vamos analisar o limite das derivadas parciais quando se aproxima de .

Passo 7

Vamos considerar a derivada parcial em relação a partial fpartial x(x, y) = 2x cdot sen(1raizx^2 + y^2) - xraizx^2 + y^2 cdot cos(1raizx^2 + y^2) para :
Analisando o comportamento desse limite quando se aproxima de , percebemos que o termo oscila entre -1 e 1 de forma cada vez mais rápida à medida que se aproxima de . Isso faz com que o limite não exista, ou seja, a derivada parcial não se aproxima de um único valor.

Passo 8

O mesmo raciocínio vale para a derivada parcial em relação a . A presença do termo faz com que a derivada parcial oscile sem se estabilizar conforme nos aproximamos de , impedindo a continuidade.

Resposta

Portanto, as derivadas parciais e não são contínuas em .

Exercícios relacionados

Considere a função f(x, y) = arctg(x^2 - y^2).
Encontre todos o pontos (x0, y0) do domínio de f para os quais o plano tangente ao gráfico de f no ponto (x0, y0, f(x0, y0)) é paralelo ao plano x y.
Decida se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa e justique sua resposta: existe uma função f: R^2 R tal que
partial fpartial x(x, y)=x cos y and partial fpartial y(x, y)=x^2 para todo (x, y) in R^2

Dica: use o teorema de Clairaut-Schwarz

(2 pontos) Considere a função z=f(x, y) definida implicitamente por x^2+2 y^2+3 z^2=12. Calcule partial zpartial x quando (x, y, z)=(3,0,1).
a) -5
b) -3
c) -1
d) 1
e) 3 .
(2 pontos) Seja f(x, y) = sen(x + 2y). Calcule a derivada direcional de f no ponto (0,0) na direção do vetor unitário (1/raiz(2), 1/raiz(2)).
a) -3 / raiz(2)
b) -1 / raiz(2)
c) 0
d) 3 / raiz(2)
e) 5 / raiz(2).