(2 pontos) Considere a função
definida implicitamente por
. Calcule
quando
.
a) -5
b) -3
c) -1
d) 1
e) 3 .
a) -5
b) -3
c) -1
d) 1
e) 3 .
Passo 1
E aí! Vamos resolver esse problema de derivadas parciais. A gente tem uma função
definida pela equação implícita
. Precisamos calcular a derivada parcial
no ponto
. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas implícitas.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é considerado uma constante quando derivamos em relação a
.
Derivando
em relação a
, temos
.
Derivando
em relação a
, como
é constante, a derivada é 0.
Derivando
em relação a
, usamos a regra da cadeia:
.
Então, a derivação fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver para
:
Isolando
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores de
e
no ponto
:
Então:
Resposta
c) -1
Exercícios relacionados
Função diferenciável que não é de classe
: Considere a função
Mostre que:
as derivadas parciais não são contínuas em
.
as derivadas parciais
Considere a função
.
Encontre todos o pontos do domínio de
para os quais o plano tangente ao gráfico de
no ponto
é paralelo ao plano
.
Encontre todos o pontos
(2 pontos) Seja
. Calcule a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor unitário
.
a)
b)
c) 0
d)
e) .
a)
b)
c) 0
d)
e)
(2 pontos) Considere a função
. a) verifique que
; b) calcule o gradiente de
em
; c) encontre a equação da reta tangente à curva
no ponto
.