(2 pontos) Considere a função z=f(x, y) definida implicitamente por x^2+2 y^2+3 z^2=12. Calcule partial zpartial x quando (x, y, z)=(3,0,1).
a) -5
b) -3
c) -1
d) 1
e) 3 .

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse problema de derivadas parciais. A gente tem uma função definida pela equação implícita . Precisamos calcular a derivada parcial no ponto . Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas implícitas.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a 2x + 0 + 6z cdot partial zpartial x = 0 . Lembre-se que é considerado uma constante quando derivamos em relação a .
Derivando em relação a , temos .
Derivando em relação a , como é constante, a derivada é 0.
Derivando em relação a , usamos a regra da cadeia: .
Então, a derivação fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver para 2x + 6z cdot partial zpartial x = 0 :
6z cdot partial zpartial x = -2x
Isolando partial zpartial x = -2x6z = -x3z :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores de x = 3 e z = 1 e partial zpartial x = -33 cdot 1 = -1 no ponto :
Então:

Resposta

c) -1

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Função diferenciável que não é de classe C^1 : Considere a função
f(x, y)=l (x^2+y^2) sen(1raizx^2+y^2), se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)
Mostre que:
as derivadas parciais partial fpartial x, partial fpartial y não são contínuas em (0,0).
Considere a função f(x, y) = arctg(x^2 - y^2).
Encontre todos o pontos (x0, y0) do domínio de f para os quais o plano tangente ao gráfico de f no ponto (x0, y0, f(x0, y0)) é paralelo ao plano x y.
(2 pontos) Seja f(x, y) = sen(x + 2y). Calcule a derivada direcional de f no ponto (0,0) na direção do vetor unitário (1/raiz(2), 1/raiz(2)).
a) -3 / raiz(2)
b) -1 / raiz(2)
c) 0
d) 3 / raiz(2)
e) 5 / raiz(2).
(2 pontos) Considere a função f(x, y) = x^3 - y^3. a) verifique que f(2,1) = 7; b) calcule o gradiente de f em (2,1); c) encontre a equação da reta tangente à curva f = 7 no ponto (2,1).