Considere a função
Verifique se
é contínua em
.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem uma função
que é definida de duas maneiras diferentes dependendo se o ponto
é
ou não. O exercício pede para verificar se essa função é contínua no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como calcular limites em funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. No caso de funções de duas variáveis,
é contínua no ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Então, para verificar se
é contínua em
, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
e ver se esse limite é igual a
.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. A função é dada por:
Para facilitar o cálculo do limite, vamos usar coordenadas polares, onde
e
. Assim,
representa a distância do ponto
até
, e quando
,
.
Passo 4
Substituindo
e
por suas expressões em coordenadas polares na função
:
Vamos simplificar essa expressão:
Como
, podemos simplificar mais:
Passo 5
Agora, observamos que
e
são funções que, independentemente do valor de
, são sempre menores ou iguais a 1. Então, podemos dizer que:
Quando
,
. Portanto, pelo teorema do sanduíche, o limite de
quando
é 0.
Resposta
Como o limite de
quando
é igual a
, concluímos que a função
é contínua em
.