Considere a função
f(x, y)=cc x^4 y^2x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
(1,0) Verifique se f é contínua em (0,0).

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem uma função que é definida de duas maneiras diferentes dependendo se o ponto é ou não. O exercício pede para verificar se essa função é contínua no ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como calcular limites em funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. No caso de funções de duas variáveis, lim(x,y) to (a,b) f(x, y) = f(a, b) é contínua no ponto se o limite de quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Então, para verificar se é contínua em , precisamos calcular o limite de quando se aproxima de e ver se esse limite é igual a .

Passo 3

Vamos calcular o limite de f(x, y) = x^4 y^2x^2 + y^2 quando (x, y) neq (0,0) quando se aproxima de . A função é dada por:
Para facilitar o cálculo do limite, vamos usar coordenadas polares, onde e . Assim, representa a distância do ponto até , e quando , .

Passo 4

Substituindo f(r cos(theta), r sin(theta)) = (r cos(theta))^4 (r sin(theta))^2(r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^2 e = r^4 cos^4(theta) cdot r^2 sin^2(theta)r^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta)) por suas expressões em coordenadas polares na função = r^6 cos^4(theta) sin^2(theta)r^2 cdot 1 = r^4 cos^4(theta) sin^2(theta) :
Vamos simplificar essa expressão:
Como , podemos simplificar mais:

Passo 5

Agora, observamos que |f(r cos(theta), r sin(theta))| = |r^4 cos^4(theta) sin^2(theta)| <= r^4 e são funções que, independentemente do valor de , são sempre menores ou iguais a 1. Então, podemos dizer que:
Quando , . Portanto, pelo teorema do sanduíche, o limite de quando é 0.

Resposta

Como o limite de quando é igual a , concluímos que a função é contínua em .

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