forall e>0, existe d>0 tal que forall x, x<1+d implica 2*x<2+e

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos a seguinte afirmação:
Isso significa que, para qualquer número positivo , existe um número positivo tal que, para todo menor que , o valor de será menor que . Vamos resolver isso passo a passo usando conceitos de inequações e álgebra básica.

Passo 2

Começamos com a inequação que queremos satisfazer:
Queremos encontrar um tal que, se , então essa inequação seja verdadeira. Para isso, vamos manipular a inequação para expressar em termos de .

Passo 3

Primeiro, isole na inequação:
Dividindo ambos os lados por 2:

Passo 4

Agora, queremos que implique . Para que isso aconteça, precisamos que:
Subtraindo 1 de ambos os lados:

Passo 5

Portanto, se escolhermos , garantimos que sempre que , a inequação será satisfeita. Isso atende à condição dada na afirmação inicial.

Resposta

Escolhemos . Assim, para qualquer , existe tal que se , então .

Exercícios relacionados