Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos a seguinte afirmação:
Isso significa que, para qualquer número positivo
, existe um número positivo
tal que, para todo
menor que
, o valor de
será menor que
. Vamos resolver isso passo a passo usando conceitos de inequações e álgebra básica.
Passo 2
Começamos com a inequação que queremos satisfazer:
Queremos encontrar um
tal que, se
, então essa inequação seja verdadeira. Para isso, vamos manipular a inequação para expressar
em termos de
.
Passo 3
Primeiro, isole
na inequação:
Dividindo ambos os lados por 2:
Passo 4
Agora, queremos que
implique
. Para que isso aconteça, precisamos que:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Passo 5
Portanto, se escolhermos
, garantimos que sempre que
, a inequação
será satisfeita. Isso atende à condição dada na afirmação inicial.
Resposta
Escolhemos
. Assim, para qualquer
, existe
tal que se
, então
.