Verifique se a função z=ln (e^x+e^y) satisfaz a equação partial^2 zpartial x^2 cdot partial^2 zpartial y^2-(partial^2 zpartial x partial y)^2=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a função satisfaz a equação . Isso envolve calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função e depois verificar se essa combinação delas resulta em zero. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular derivadas parciais e entender como manipular essas expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função partial zpartial x = 1e^x + e^y cdot e^x = e^xe^x + e^y em relação a . A função é . A derivada de em relação a é . Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de partial^2 zpartial x^2 = e^x(e^x + e^y) - e^x cdot e^x(e^x + e^y)^2 = e^x e^y(e^x + e^y)^2 em relação a , ou seja, . Para isso, derivamos em relação a . Usamos a regra do quociente:

Passo 4

De forma similar, vamos encontrar a segunda derivada de partial zpartial y = e^ye^x + e^y em relação a partial^2 zpartial y^2 = e^y(e^x + e^y) - e^y cdot e^y(e^x + e^y)^2 = e^x e^y(e^x + e^y)^2 , . Primeiro, a primeira derivada em relação a é:
Agora, derivamos novamente em relação a :

Passo 5

Agora, precisamos calcular a derivada mista partial^2 zpartial x partial y = 0 cdot (e^x + e^y) - e^x cdot e^y(e^x + e^y)^2 = -e^x e^y(e^x + e^y)^2 . Primeiro, derivamos em relação a :

Passo 6

Agora, vamos substituir esses valores na equação dada:
partial^2 zpartial x^2 cdot partial^2 zpartial y^2 - (partial^2 zpartial x partial y)^2 = (e^x e^y(e^x + e^y)^2) cdot (e^x e^y(e^x + e^y)^2) - (-e^x e^y(e^x + e^y)^2)^2
Simplificando:
(e^x e^y)^2(e^x + e^y)^4 - (e^x e^y)^2(e^x + e^y)^4 = 0

Resposta

Sim, a função satisfaz a equação .

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