Considere a função
Verifique se
é diferenciável em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
definida de duas maneiras diferentes: uma para quando
não é
e outra para quando é exatamente
. O que precisamos descobrir é se essa função é diferenciável no ponto
. Diferenciabilidade, em termos simples, significa que a função pode ser aproximada por um plano linear perto desse ponto. Para isso, vamos precisar verificar a continuidade da função em
e também calcular as derivadas parciais nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em
. Isso significa que o limite de
quando
se aproxima de
deve ser igual a
, que é 0.
Vamos calcular o limite:
Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde
e
. Substituindo na função:
Agora, vemos que
tende a 0 conforme
, independentemente do valor de
. Portanto, o limite é 0, que é igual a
. Assim, a função é contínua em
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda em relação a cada uma das variáveis individualmente.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Substituindo
:
Então:
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Substituindo
:
Então:
Portanto, as derivadas parciais de
em
são ambas iguais a 0.
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, vamos verificar se a função é realmente diferenciável em
. Para isso, precisamos checar se o comportamento da função perto de
pode ser bem aproximado por um plano linear, ou seja:
Como
e ambas as derivadas parciais são 0, a expressão simplifica para:
Vamos calcular esse limite usando coordenadas polares novamente:
E
Então:
À medida que
,
, e independentemente do valor de
, o limite será 0.
Resposta
Sim, a função
é diferenciável em
.