Considere a função
f(x, y)=cc x^4 y^2x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
(1,0) Verifique se f é diferenciável em (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida de duas maneiras diferentes: uma para quando não é e outra para quando é exatamente . O que precisamos descobrir é se essa função é diferenciável no ponto . Diferenciabilidade, em termos simples, significa que a função pode ser aproximada por um plano linear perto desse ponto. Para isso, vamos precisar verificar a continuidade da função em e também calcular as derivadas parciais nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em lim(x, y) to (0,0) x^4 y^2x^2 + y^2 . Isso significa que o limite de (r cos theta)^4 (r sin theta)^2r^2 = r^6 cos^4 theta sin^2 thetar^2 = r^4 cos^4 theta sin^2 theta quando se aproxima de deve ser igual a , que é 0.
Vamos calcular o limite:
Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde e . Substituindo na função:
Agora, vemos que tende a 0 conforme , independentemente do valor de . Portanto, o limite é 0, que é igual a . Assim, a função é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de fx(0,0) = limh to 0 f(h,0) - f(0,0)h em f(h,0) = h^4 cdot 0^2h^2 + 0^2 = 0 . As derivadas parciais nos dizem como a função muda em relação a cada uma das variáveis individualmente.
Primeiro, a derivada parcial em relação a fx(0,0) = limh to 0 0 - 0h = 0 :
fy(0,0) = limk to 0 f(0,k) - f(0,0)k
Substituindo f(0,k) = 0^4 cdot k^20^2 + k^2 = 0 :
fy(0,0) = limk to 0 0 - 0k = 0
Então:
Agora, a derivada parcial em relação a :
Substituindo :
Então:
Portanto, as derivadas parciais de em são ambas iguais a 0.

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, vamos verificar se a função é realmente diferenciável em lim(h, k) to (0,0) f(h, k) - f(0,0) - fx(0,0) h - fy(0,0) kraizh^2 + k^2 = 0 . Para isso, precisamos checar se o comportamento da função perto de lim(h, k) to (0,0) f(h, k)raizh^2 + k^2 pode ser bem aproximado por um plano linear, ou seja:
f(h, k) = h^4 k^2h^2 + k^2 = r^4 cos^4 theta sin^2 theta
Como raizh^2 + k^2 = r e ambas as derivadas parciais são 0, a expressão simplifica para:
f(h, k)raizh^2 + k^2 = r^4 cos^4 theta sin^2 thetar = r^3 cos^4 theta sin^2 theta
Vamos calcular esse limite usando coordenadas polares novamente:
E
Então:
À medida que , , e independentemente do valor de , o limite será 0.

Resposta

Sim, a função é diferenciável em .

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