Determine a derivada direcional de
em
na direção de
.
Passo 1
Beleza, então a gente tem um exercício de derivada direcional. A função é
e queremos encontrar a derivada direcional nesse ponto específico
na direção do vetor
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, como calcular o gradiente da função e como usar o vetor de direção corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional mede a taxa de variação da função em uma direção específica. Para calcular isso, a gente precisa do gradiente da função, que é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de
. O gradiente é dado pelas derivadas parciais em relação a cada variável:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 4
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Em relação a
:
E em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 6
A derivada direcional é calculada usando o produto escalar entre o gradiente e o vetor de direção unitário. Então, precisamos primeiro transformar
em um vetor unitário.
Passo 7
Calculando o comprimento de
:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 8
Agora, fazemos o produto escalar entre
e
:
Passo 9
Simplificando a expressão:
Resposta
A derivada direcional de
em
na direção de
é 2,4.