0,5 Determine a derivada direcional de f(x, y, z) = x * y^2 * z^3 em P(2,1,1) na direção de v = < 0, -3, 4 >.

Passo 1

Beleza, então a gente tem um exercício de derivada direcional. A função é e queremos encontrar a derivada direcional nesse ponto específico na direção do vetor . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, como calcular o gradiente da função e como usar o vetor de direção corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional mede a taxa de variação da função em uma direção específica. Para calcular isso, a gente precisa do gradiente da função, que é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de . O gradiente é dado pelas derivadas parciais em relação a cada variável:
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 4

Calculando a derivada parcial em relação a :
Em relação a :
E em relação a :

Passo 5

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 6

A derivada direcional é calculada usando o produto escalar entre o gradiente e o vetor de direção unitário. Então, precisamos primeiro transformar em um vetor unitário.

Passo 7

Calculando o comprimento de :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 8

Agora, fazemos o produto escalar entre e :

Passo 9

Simplificando a expressão:

Resposta

A derivada direcional de em na direção de é 2,4.

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