Considere a função f(x, y)=ccx^2-x y+y^2x^2+y^2 & , se (x, y) neq(0,0) 1 & , se (x, y)=(0,0)
(1,0) Calcule, caso exista, lim (x, y) (0,0) f(x, y).
Caso contrário, justifique por que o limite não existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis, , que é definida de um jeito diferente quando estamos perto da origem . A questão quer saber se existe o limite dessa função quando se aproxima de . Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites em funções de várias variáveis e verificar se o resultado é o mesmo independente do caminho que a gente escolhe pra se aproximar da origem.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a definição da função:
f(x, y) = x^2 - x y + y^2x^2 + y^2 & se (x, y) neq (0,0) 1 & se (x, y) = (0,0)
A gente quer descobrir o que acontece com quando se aproxima de . Se o limite existir, ele deve ser o mesmo independente do caminho que a gente escolher pra chegar lá.

Passo 3

Vamos começar analisando o limite ao longo de alguns caminhos específicos:
1. Caminho ao longo do eixo f(x, 0) = x^2 - x cdot 0 + 0^2x^2 + 0^2 = x^2x^2 = 1 ( limx to 0 f(x, 0) = 1 )
Substituindo f(0, y) = 0^2 - 0 cdot y + y^20^2 + y^2 = y^2y^2 = 1 na função:
limy to 0 f(0, y) = 1
Então,
2. Caminho ao longo do eixo ( )
Substituindo na função:
Assim,
Até agora, os limites ao longo dos eixos e deram o mesmo valor, 1. Mas precisamos verificar outros caminhos pra ter certeza.

Passo 4

Vamos tentar um caminho mais geral, como f(x, kx) = x^2 - x cdot kx + (kx)^2x^2 + (kx)^2 = x^2 - kx^2 + k^2x^2x^2(1 + k^2)) = 1 - k + k^21 + k^2 , onde é uma constante qualquer.
Substituindo na função:
Obviamente, esse valor depende de . Por exemplo:
  • Se , então .
  • Se , voltamos ao caso do eixo e obtemos 1.
Como o limite pode ser 1 ou 1/2 dependendo do valor de , isso indica que o limite pode variar conforme o caminho escolhido.

Passo 5

Para ter certeza, vamos usar coordenadas polares, pois elas nos permitem analisar o comportamento da função quando f(r cos theta, r sin theta) = (r cos theta)^2 - r cos theta cdot r sin theta + (r sin theta)^2(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 = r^2 (cos^2 theta - cos theta sin theta + sin^2 theta)r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = cos^2 theta - cos theta sin theta + sin^2 theta1 (a distância até a origem) tende a 0, independente do ângulo f(r cos theta, r sin theta) = cos^2 theta - cos theta sin theta + sin^2 theta .
Em coordenadas polares, temos f(r cos theta, r sin theta) = 1 - cos theta sin theta e . Substituindo na função:
Simplificando:
Perceba que não depende mais de ! Isso significa que o valor de depende apenas do ângulo . Como , temos:
Dependendo do valor de , esse resultado pode variar. Por exemplo:
  • Se (eixo ), .
  • Se , .
Como o resultado varia com , o limite não é único.

Resposta

O limite não existe, pois ele assume diferentes valores dependendo do caminho pelo qual se aproxima de .

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