Considere a função
Calcule, caso exista, .
Caso contrário, justifique por que o limite não existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis, , que é definida de um jeito diferente quando estamos perto da origem . A questão quer saber se existe o limite dessa função quando se aproxima de . Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites em funções de várias variáveis e verificar se o resultado é o mesmo independente do caminho que a gente escolhe pra se aproximar da origem.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a definição da função:
A gente quer descobrir o que acontece com quando se aproxima de . Se o limite existir, ele deve ser o mesmo independente do caminho que a gente escolher pra chegar lá.

Passo 3

Vamos começar analisando o limite ao longo de alguns caminhos específicos:
1. Caminho ao longo do eixo ( )
Substituindo na função:
Então,
2. Caminho ao longo do eixo ( )
Substituindo na função:
Assim,
Até agora, os limites ao longo dos eixos e deram o mesmo valor, 1. Mas precisamos verificar outros caminhos pra ter certeza.

Passo 4

Vamos tentar um caminho mais geral, como , onde é uma constante qualquer.
Substituindo na função:
Obviamente, esse valor depende de . Por exemplo:
  • Se , então .
  • Se , voltamos ao caso do eixo e obtemos 1.
Como o limite pode ser 1 ou 1/2 dependendo do valor de , isso indica que o limite pode variar conforme o caminho escolhido.

Passo 5

Para ter certeza, vamos usar coordenadas polares, pois elas nos permitem analisar o comportamento da função quando (a distância até a origem) tende a 0, independente do ângulo .
Em coordenadas polares, temos e . Substituindo na função:
Simplificando:
Perceba que não depende mais de ! Isso significa que o valor de depende apenas do ângulo . Como , temos:
Dependendo do valor de , esse resultado pode variar. Por exemplo:
  • Se (eixo ), .
  • Se , .
Como o resultado varia com , o limite não é único.

Resposta

O limite não existe, pois ele assume diferentes valores dependendo do caminho pelo qual se aproxima de .

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a) Se a partir do ponto nos movermos no sentido positivo do eixo , a temperatura aumenta ou diminui? Justifique tua resposta.
A temperatura em uma região do plano é dado por .
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Considere a função
Calcule, caso existam, e .
Caso contrário, justifique por que o(s) limite(s) não existe(m).
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