Considere a função
Calcule, caso exista,
.
Caso contrário, justifique por que o limite não existe.
Caso contrário, justifique por que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis,
, que é definida de um jeito diferente quando estamos perto da origem
. A questão quer saber se existe o limite dessa função quando
se aproxima de
. Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites em funções de várias variáveis e verificar se o resultado é o mesmo independente do caminho que a gente escolhe pra se aproximar da origem.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a definição da função:
A gente quer descobrir o que acontece com
quando
se aproxima de
. Se o limite existir, ele deve ser o mesmo independente do caminho que a gente escolher pra chegar lá.
Passo 3
Vamos começar analisando o limite ao longo de alguns caminhos específicos:
1. Caminho ao longo do eixo
(
)
Substituindo
na função:
Então,
2. Caminho ao longo do eixo
(
)
Substituindo
na função:
Assim,
Até agora, os limites ao longo dos eixos
e
deram o mesmo valor, 1. Mas precisamos verificar outros caminhos pra ter certeza.
Passo 4
Vamos tentar um caminho mais geral, como
, onde
é uma constante qualquer.
Substituindo
na função:
Obviamente, esse valor depende de
. Por exemplo:
- Se
, então . - Se
, voltamos ao caso do eixo e obtemos 1.
Como o limite pode ser 1 ou 1/2 dependendo do valor de
, isso indica que o limite pode variar conforme o caminho escolhido.
Passo 5
Para ter certeza, vamos usar coordenadas polares, pois elas nos permitem analisar o comportamento da função quando
(a distância até a origem) tende a 0, independente do ângulo
.
Em coordenadas polares, temos
e
. Substituindo na função:
Simplificando:
Perceba que
não depende mais de
! Isso significa que o valor de
depende apenas do ângulo
. Como
, temos:
Dependendo do valor de
, esse resultado pode variar. Por exemplo:
- Se
(eixo ), . - Se
, .
Como o resultado varia com
, o limite não é único.
Resposta
O limite
não existe, pois ele assume diferentes valores dependendo do caminho pelo qual
se aproxima de
.