A temperatura em uma região do plano é dado por .
a) Se a partir do ponto nos movermos no sentido positivo do eixo , a temperatura aumenta ou diminui? Justifique tua resposta.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema está nos perguntando. Temos uma função que representa a temperatura em uma região do plano, dada por . A questão pede para determinar se, ao nos movermos a partir do ponto na direção positiva do eixo , a temperatura aumenta ou diminui. Para resolver isso, vamos precisar entender como a temperatura varia conforme nos movemos nessa direção, utilizando conceitos de cálculo, especificamente derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que significa se a temperatura aumenta ou diminui ao nos movermos na direção positiva do eixo . Isso está relacionado à derivada parcial da função em relação a . A derivada parcial nos diz a taxa de variação de quando apenas varia, mantendo constante.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de em relação a . A função é:
A derivada parcial de em relação a é:
Usando a regra do quociente ou a regra da potência, temos:
Passo 4
Agora, vamos avaliar a derivada parcial no ponto :
Passo 5
A derivada parcial no ponto é . Isso significa que, ao aumentar (movendo-se na direção positiva do eixo ), a temperatura está diminuindo, já que a derivada é negativa.
Resposta
Ao mover-se a partir do ponto na direção positiva do eixo , a temperatura diminui.