A temperatura em uma região do plano é dado por .
a) Se a partir do ponto nos movermos no sentido positivo do eixo , a temperatura aumenta ou diminui? Justifique tua resposta.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está nos perguntando. Temos uma função que representa a temperatura em uma região do plano, dada por . A questão pede para determinar se, ao nos movermos a partir do ponto na direção positiva do eixo , a temperatura aumenta ou diminui. Para resolver isso, vamos precisar entender como a temperatura varia conforme nos movemos nessa direção, utilizando conceitos de cálculo, especificamente derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que significa se a temperatura aumenta ou diminui ao nos movermos na direção positiva do eixo . Isso está relacionado à derivada parcial da função em relação a . A derivada parcial nos diz a taxa de variação de quando apenas varia, mantendo constante.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a . A função é:
A derivada parcial de em relação a é:
Usando a regra do quociente ou a regra da potência, temos:

Passo 4

Agora, vamos avaliar a derivada parcial no ponto :

Passo 5

A derivada parcial no ponto é . Isso significa que, ao aumentar (movendo-se na direção positiva do eixo ), a temperatura está diminuindo, já que a derivada é negativa.

Resposta

Ao mover-se a partir do ponto na direção positiva do eixo , a temperatura diminui.

Exercícios relacionados

A temperatura em uma região do plano é dado por .
c) Calcule o gradiente da temperatura em ( 3,4 ).
Mostre que .
Considere a função
Calcule, caso exista, .
Caso contrário, justifique por que o limite não existe.
Considere a função
Calcule, caso existam, e .
Caso contrário, justifique por que o(s) limite(s) não existe(m).