Considere a função
Calcule, caso existam, e .
Caso contrário, justifique por que o(s) limite(s) não existe(m).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está pedindo para encontrar as derivadas parciais de uma função no ponto . Isso envolve entender como a função se comporta quando mudamos apenas uma das variáveis, ou seja, ou , enquanto a outra permanece fixa. Para isso, vamos usar o conceito de limite que define a derivada parcial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a no ponto , que é . A definição dessa derivada é o limite:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar . Vamos olhar para a função dada:
Substituindo :
E sabemos que .

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na definição da derivada parcial:
Então, o limite quando tende a 0 é simplesmente 0.

Passo 5

Portanto, a derivada parcial de em relação a no ponto é:

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a no ponto , que é . A definição dessa derivada é o limite:

Passo 7

Vamos encontrar . Substituindo na função:
E sabemos que .

Passo 8

Substituindo esses valores na definição da derivada parcial:
Assim, o limite quando tende a 0 é 0.

Passo 9

Portanto, a derivada parcial de em relação a no ponto é:

Resposta

As derivadas parciais no ponto são:

Exercícios relacionados

Considere a função
Calcule, caso exista, .
Caso contrário, justifique por que o limite não existe.
A temperatura em uma região do plano é dado por .
a) Se a partir do ponto nos movermos no sentido positivo do eixo , a temperatura aumenta ou diminui? Justifique tua resposta.
A temperatura, em graus Celsius, na superficie de uma placa metálica é dada por , onde e y são medidos em polegadas. Em que direção a temperatura cresce mais rapidamente no ponto ? Qual a taxa de crescimento?
Resp.: e .
Considere a função
A função f é diferenciável em (0,0)? (Justifique!)