Considere a função f(x, y)=ccx^2-x y+y^2x^2+y^2 & , se (x, y) neq(0,0) 1 & , se (x, y)=(0,0)
(1,0) Calcule, caso existam, partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0).
Caso contrário, justifique por que o(s) limite(s) não existe(m).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está pedindo para encontrar as derivadas parciais de uma função no ponto . Isso envolve entender como a função se comporta quando mudamos apenas uma das variáveis, ou seja, ou , enquanto a outra permanece fixa. Para isso, vamos usar o conceito de limite que define a derivada parcial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h no ponto , que é . A definição dessa derivada é o limite:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar f(x, y) = x^2 - x y + y^2x^2 + y^2 & se (x, y) neq (0,0) 1 & se (x, y) = (0,0) . Vamos olhar para a função dada:
f(h, 0) = h^2 - h cdot 0 + 0^2h^2 + 0^2 = h^2h^2 = 1 para h neq 0
Substituindo :
E sabemos que .

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na definição da derivada parcial:
f(h, 0) - f(0,0)h = 1 - 1h = 0h = 0 para h neq 0
Então, o limite quando tende a 0 é simplesmente 0.

Passo 5

Portanto, a derivada parcial de partial fpartial x(0,0) = 0 em relação a no ponto é:

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k no ponto , que é . A definição dessa derivada é o limite:

Passo 7

Vamos encontrar f(0, k) = 0^2 - 0 cdot k + k^20^2 + k^2 = k^2k^2 = 1 para k neq 0 . Substituindo na função:
E sabemos que .

Passo 8

Substituindo esses valores na definição da derivada parcial:
f(0, k) - f(0,0)k = 1 - 1k = 0k = 0 para k neq 0
Assim, o limite quando tende a 0 é 0.

Passo 9

Portanto, a derivada parcial de partial fpartial y(0,0) = 0 em relação a no ponto é:

Resposta

As derivadas parciais no ponto partial fpartial x(0,0) = 0 e partial fpartial y(0,0) = 0 são:

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