Considere a função
Calcule, caso existam,
e
.
Caso contrário, justifique por que o(s) limite(s) não existe(m).
Caso contrário, justifique por que o(s) limite(s) não existe(m).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está pedindo para encontrar as derivadas parciais de uma função
no ponto
. Isso envolve entender como a função se comporta quando mudamos apenas uma das variáveis, ou seja,
ou
, enquanto a outra permanece fixa. Para isso, vamos usar o conceito de limite que define a derivada parcial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a
no ponto
, que é
. A definição dessa derivada é o limite:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
. Vamos olhar para a função dada:
Substituindo
:
E sabemos que
.
Passo 4
Agora, substituímos esses valores na definição da derivada parcial:
Então, o limite quando
tende a 0 é simplesmente 0.
Passo 5
Portanto, a derivada parcial de
em relação a
no ponto
é:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
no ponto
, que é
. A definição dessa derivada é o limite:
Passo 7
Vamos encontrar
. Substituindo
na função:
E sabemos que
.
Passo 8
Substituindo esses valores na definição da derivada parcial:
Assim, o limite quando
tende a 0 é 0.
Passo 9
Portanto, a derivada parcial de
em relação a
no ponto
é:
Resposta
As derivadas parciais no ponto
são:
Exercícios relacionados
Considere a função
Calcule, caso exista,
.
Caso contrário, justifique por que o limite não existe.
Caso contrário, justifique por que o limite não existe.
A temperatura em uma região do plano é dado por
.
a) Se a partir do ponto nos movermos no sentido positivo do eixo
, a temperatura aumenta ou diminui? Justifique tua resposta.
a) Se a partir do ponto
A temperatura, em graus Celsius, na superficie de uma placa metálica é dada por
, onde
e y são medidos em polegadas. Em que direção a temperatura cresce mais rapidamente no ponto
? Qual a taxa de crescimento?
Resp.: e
.
Resp.:
Considere a função
A função f é diferenciável em (0,0)? (Justifique!)