A temperatura, em graus Celsius, na superficie de uma placa metálica é dada por
, onde
e y são medidos em polegadas. Em que direção a temperatura cresce mais rapidamente no ponto
? Qual a taxa de crescimento?
Resp.:
e
.
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o enunciado. A gente tem uma função que representa a temperatura na superfície de uma placa metálica:
. Aqui,
e
são medidas em polegadas. A questão quer saber em qual direção a temperatura está aumentando mais rapidamente no ponto
e qual é essa taxa de aumento.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente de uma função. O gradiente nos dá tanto a direção de maior crescimento da função quanto a taxa desse crescimento. Então, vamos calcular o gradiente de
no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. No nosso caso:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
E a derivada parcial de
em relação a
:
Então, o gradiente de
é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto específico
:
Substituindo
e
na expressão do gradiente:
Isso nos dá o vetor gradiente no ponto
.
Passo 5
A direção em que a temperatura cresce mais rapidamente é exatamente a direção do vetor gradiente. Então, no ponto
, essa direção é dada pelo vetor
.
Para achar a taxa de crescimento nessa direção, precisamos calcular o módulo do gradiente, que é a norma do vetor.
Passo 6
Calculando o módulo do vetor gradiente:
Portanto, a taxa de crescimento da temperatura na direção de maior aumento é aproximadamente 17 graus Celsius por polegada.
Resposta
A direção em que a temperatura cresce mais rapidamente no ponto
é dada pelo vetor gradiente
e a taxa de crescimento nessa direção é aproximadamente 17.
Exercícios relacionados
Considere a função
Calcule, caso existam,
e
.
Caso contrário, justifique por que o(s) limite(s) não existe(m).
Caso contrário, justifique por que o(s) limite(s) não existe(m).
Considere a função
Calcule, caso exista,
.
Caso contrário, justifique por que o limite não existe.
Caso contrário, justifique por que o limite não existe.
Considere a função
A função f é diferenciável em (0,0)? (Justifique!)
A temperatura em uma região do plano é dado por
.
b) Em que ponto a temperatura vale
, sabendo que a taxa de variação com relação a distância percorrida na direção do eixo y, sentido positivo, nesse ponto, é igual a
?
b) Em que ponto