A temperatura, em graus Celsius, na superficie de uma placa metálica é dada por T(x, y) = 20 - 4x^2 - y^2, onde x e y são medidos em polegadas. Em que direção a temperatura cresce mais rapidamente no ponto (2, -3) ? Qual a taxa de crescimento?
Resp.: nabla f = (-16, 6) e |∇f| ≈ 17.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o enunciado. A gente tem uma função que representa a temperatura na superfície de uma placa metálica: . Aqui, e são medidas em polegadas. A questão quer saber em qual direção a temperatura está aumentando mais rapidamente no ponto e qual é essa taxa de aumento.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente de uma função. O gradiente nos dá tanto a direção de maior crescimento da função quanto a taxa desse crescimento. Então, vamos calcular o gradiente de no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. No nosso caso:
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial de em relação a :
Então, o gradiente de é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto específico :
Substituindo e na expressão do gradiente:
Isso nos dá o vetor gradiente no ponto .

Passo 5

A direção em que a temperatura cresce mais rapidamente é exatamente a direção do vetor gradiente. Então, no ponto , essa direção é dada pelo vetor .
Para achar a taxa de crescimento nessa direção, precisamos calcular o módulo do gradiente, que é a norma do vetor.

Passo 6

Calculando o módulo do vetor gradiente:
Portanto, a taxa de crescimento da temperatura na direção de maior aumento é aproximadamente 17 graus Celsius por polegada.

Resposta

A direção em que a temperatura cresce mais rapidamente no ponto é dada pelo vetor gradiente e a taxa de crescimento nessa direção é aproximadamente 17.

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